Комплексно-сопряженный оператор импульса

Рассмотрим представление оператора импульса в позиционном пространстве.

п ^ "=" − я ∂ ∂ Икс   и его собственные функции  е я п Икс и   е − я п Икс .
п ^ е я п Икс "=" п е я п Икс
Взяв комплексно-сопряженное уравнение,
п ^ * е − я п Икс "=" п * е − я п Икс
Поскольку собственное значение импульса действительно, п * "=" п . Таким образом
п ^ * е − я п Икс "=" п е − я п Икс
Теперь подумайте,
− п ^ е − я п Икс "=" п е − я п Икс
Из этих двух уравнений мы видим, что п ^ * "=" − п ^ .\

Теперь рассмотрим матричное представление оператора импульса. В базисе собственных состояний импульса матрица оператора импульса (бесконечная размерность) является диагональной, а диагональные элементы представляют собственные значения оператора импульса, как и в случае других конечномерных операторов. Это означает, что комплексное сопряжение п − матрица п − сама матрица. Однако из приведенной выше логики мы увидели, что комплексно-сопряженное число должно быть отрицательным. п − матрица.\

Я не вижу, где проблема!!

Ответы (4)

Короче говоря, вы не можете распределять * по оператору таким образом. Вам нужно сохранить его как ( п ^ е я п Икс ) * "=" п е − я п Икс потому что п ^ является оператором в комплексном векторном пространстве, который выглядит как производная в Икс основа.

п ^ "=" − я ∂ ∂ Икс представляет собой представление оператора импульса в Икс основе, то есть ⟨ Икс | п ^ | ψ ⟩ "=" − я ∂ ∂ Икс ⟨ Икс | ψ ⟩ . Комплексное сопряжение — это операция, которую мы знаем, как выполнять над комплексными числами, поэтому давайте сначала удостоверимся, что объекты, с которыми мы работаем, являются комплексными числами. Комплексное сопряжение внутреннего продукта ⟨ Икс | ψ ⟩ * "=" ⟨ ψ | Икс ⟩ . Оператор п ^ меняет вектор | ψ ⟩ в какой-то другой вектор п ^ | ψ ⟩ "=" | п ψ ⟩ . Теперь взятие комплексного сопряжения выглядит так:

⟨ Икс | п ^ | ψ ⟩ * "=" ⟨ Икс | п ψ ⟩ * "=" ⟨ п ψ | Икс ⟩

Теперь вопрос в том, что ⟨ п ψ | ? Чтобы иметь ⟨ ψ | ψ ⟩ "=" | ψ | 2 затем ⟨ ψ | должен быть эрмитовым сопряженным | ψ ⟩ . Если вы думаете о кетах как о векторах-столбцах, о бюстгальтерах как о векторах-строках, а об операторах как о матрицах, то эта операция включает в себя транспонирование матрицы операторов в дополнение к комплексному сопряжению.

Работая на пространстве бесконечно дифференцируемых функций, распределение эрмитова сопряжения правильно, как показано в вопросе. Единственная проблема может возникнуть при сопряжении умножения операторов, и в этом случае единственная необходимая коррекция — это инвертировать порядок операторов в произведении, например ( А ^ Б ^ ) * "=" Б ^ * А ^ *
@Ajayu Физики обозначают комплексное сопряжение как А ^ * и эрмитовым сопряжением А ^ † .
А ^ * согласуется с обозначениями, используемыми в вопросе, в котором используется п ^ * как эрмитово сопряженное оператору импульса. Хотя это и не является стандартом среди физиков, именно его выбрали для формулировки вопроса.
Я не думаю, что ОП знал о разнице между эрмитовым сопряжением и комплексным сопряжением, поэтому лучше сохранить различие.

Комплексное сопряжение оператора зависит от выбранного вами базиса. Другими словами, не существует независимого от базы определения комплексного сопряжения.

Эрмитова конъюгата определяется без ссылки на базис.
@RobinEkman: Но комплексное сопряжение — это не то же самое, что эрмитово сопряжение. Но тот факт, что эрмитово сопряжение не зависит от базиса, можно использовать, чтобы показать, что комплексное сопряжение действительно зависит от базиса: эрмитово сопряжение - это комбинация комплексно-сопряженного и транспонированного. Следовательно, комплексное сопряжение совпадает с эрмитовым сопряжением, за которым следует транспонирование. Теперь я думаю, совершенно очевидно, что транспонирование зависит от базы.

Легко найти ошибку, если вы понимаете, что оператор — это функция в векторном пространстве с аргументом функции справа от него. Например, п ^ е я п Икс "=" п е я п Икс (очевидно, сбивает с толку) обозначение для п ^ ( е я п Икс ) "=" п е я п Икс , поэтому п ^ * ( е я п Икс ) "=" п е − я п Икс . См. Также ответ Джорджа Г. в нотации Дирака.

Вы предполагаете, что эрмитово сопряжение производного оператора д / д Икс снова производная. Это не вариант. Эрмитова конъюгата д / д Икс является − д / д Икс . Вот почему я есть.

Это нигде не предполагалось!!!
Комплексно-сопряженный оператор импульса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v