Внутреннее произведение собственных значений положения и импульса

Давайте определим д ^ ,   п ^ квантовые операторы положения и импульса, а ^ оператор уничтожения и а ^ 1 ,   а ^ 2 со своей действительной и мнимой частью, такой, что

а ^ "=" а ^ 1 + Дж а ^ 2
с
а ^ 1 "=" ю 2 ℏ д ^ ,   а ^ 2 "=" 1 2 ℏ ю п ^
(для справки см. Лекции Шапиро по квантовой оптической связи, лекция 4 )

Определять | а 1 ⟩ ,   | а 2 ⟩ ,   | д ⟩ ,   | п ⟩ собственный набор оператора а ^ 1 ,   а ^ 2 ,   д ^ ,   п ^ соответственно.

Из лекции я знаю, что

⟨ а 2 | а 1 ⟩ "=" 1 π е − 2 Дж а 1 а 2
но я не понимаю как получить
⟨ п | д ⟩ "=" 1 2 π ℏ е − Дж ℏ д п

Я думал, что с подстановкой переменной будет достаточно, но подстановка а 1 "=" ю 2 ℏ д ,   а 2 "=" 1 2 ℏ ю п , я получаю

1 π е − Дж ℏ д п
который не имеет правильного множителя 1 2 π ℏ .

Что мне не хватает?

Это зависит от того, что ⟨ п | а я ⟩ и ⟨ д | а я ⟩ являются. (это не тест, сейчас не вспомню). Вы должны поместить личности внутрь ⟨ а 1 | а 2 ⟩ , вы не можете просто заменить.

Ответы (1)

Внутренние скалярные произведения

С а ^ 1 "=" ю 2 ℏ д ^ , затем ⟨ а 1 | д ⟩ "=" Н 1 дельта ( а 1 − ю 2 ℏ д ) .

Кроме того, поскольку а ^ 2 "=" 1 2 ℏ ю п ^ , затем ⟨ а 2 | п ⟩ "=" Н 2 дельта ( а 2 − 1 2 ℏ ю п ) .

Константы нормализации

Мы будем использовать это свойство: ∫ г Икс дельта ( α Икс − у ) ф ( Икс ) "=" ф ( у α ) α .

Если мы спросим, ​​что | а 1 ⟩ нормализуются, мы просим, ​​чтобы

дельта ( а 1 − а ¯ 2 ) "=" ⟨ а 1 | а ¯ 1 ⟩ "=" ∫ г д ⟨ а 1 | д ⟩ ⟨ д | а ¯ 1 ⟩ "=" ∫ г д | Н 1 | 2 дельта ( а 1 − ю 2 ℏ д ) дельта ( а ¯ 1 − ю 2 ℏ д ) .

Так, Н 1 "=" ( ю 2 ℏ ) 1 4 .

Делать то же самое для | а 2 ⟩ Затем мы получили, что:

⟨ а 1 | д ⟩ "=" ( ю 2 ℏ ) 1 4 дельта ( а 1 − ю 2 ℏ д ) .

⟨ а 2 | п ⟩ "=" ( 1 2 ℏ ю ) 1 4 дельта ( а 2 − 1 2 ℏ ю п ) .

Вычисления ⟨ п | д ⟩

Тогда, как вы знаете, ⟨ п | д ⟩ "=" ∫ г а 1 г а 2 ⟨ п | а 2 ⟩ ⟨ а 2 | а 1 ⟩ ⟨ а 1 | д ⟩ .

Этого будет достаточно, чтобы найти правильное решение.

Если я решу поставленный вами интеграл, то получу
1 π е − Дж π д п
-если я сделаю это правильно - у которого нет правильного множителя 1 2 π ℏ (Я только что отредактировал вопрос для уточнения).
Вы использовали свойство дельты Дирака, вычисленной по x, умноженному на константу?
∫ ф ( Икс ) дельта ( α Икс ) "=" ф ( 0 ) α ?
О да, и с этим же трюком вы обнаружите, что ⟨ а 1 | п ⟩ и ⟨ а 2 | д ⟩ иметь нормализующий коэффициент
@ Никола, я отредактировал свой ответ с учетом свойства дельты Дирака.
Внутреннее произведение собственных значений положения и импульса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v