TQFT — добавление точного термина QQQ, равного самому действию

Утверждение, что можно добавить$Q$точный срок действия$S\to S+Q\chi$без изменения корреляторов не всегда строго верно. Нужно быть осторожным, чтобы сделать выбор$\chi$что не меняет асимптотики действия$S$на границе полевого пространства. Выбор$\chi=-\psi$явно выбор, который резко меняет асимптотическое поведение$S$. Более того,$\left<Q\mathcal{O}\right>$обращается в нуль только до граничных членов в полевом пространстве. Ненулевые граничные условия приведут к тому, что стандартные аргументы, которые вы привели, потерпят неудачу.

Редактировать: это можно продемонстрировать на конечномерном примере, который можно найти в разделе 3.22 лекций Г. Мура об инвариантах Дональдсона и 4-многообразиях по адресу: http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/SCGP . -FourManifoldsNotes-2017.pdf .

Рассмотрим суперсимметричный интеграл

$$\mathcal{Z}=\int d\mathcal{M}e^{-S},\quad S=\frac{1}{2}H^2+iHs(x)-i\bar{\psi}\frac{ds(x)}{dx}\psi,\quad d\mathcal{M}=\frac{dxdHd\psi d\bar{\psi}}{2\pi i},$$ где $s:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$является вещественнозначной функцией, удовлетворяющей $|s(x)|\to\infty$как $|x|\to\infty$. Действие инвариантно относительно суперсимметрии с $$Qx=\psi,\quad Q\psi=0,\quad Q\bar{\psi}=H,\quad QH=0.$$ Кроме того, действие $Q$-точный $$S=Q\Psi,\quad \Psi=\left(\frac{1}{2}\bar{\psi}H+i\bar{\psi}s(x)\right).$$

После интеграции$\psi,\bar{\psi}$и вспомогательный$H$мы находим, что$\mathcal{Z}$дан кем-то

$$\mathcal{Z}=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}s'(x)e^{-\frac{1}{2}s(x)^2}=\deg(f)\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dy}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}=\deg(f)=\sum_{z(s)}\frac{s'(x_0)}{|s'(x_0)|}$$ для вычисления интеграла мы заменили переменные $f:x\mapsto y=s$и $\deg(f)$обозначает степень этого отображения, наконец $z(s)=\{x_0|s(x_0)=0\}$это нулевое множество $s$. Обратите внимание, что после интегрирования $H$, т.е. установка $H=-is(x)$, $z(s)$точно совпадает с множеством $Q$фиксированные точки. Однако мы могли бы рассмотреть деформацию действия $Q$точный термин, скажем, $S\to S+Q(i\bar{\psi}t(x))$и повторение вышеуказанных шагов дает, что $$\mathcal{Z}_t=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}(s'(x)+t'(x))e^{-\frac{1}{2}(s(x)+t(x))^2}\stackrel{?}{=}\mathcal{Z}.$$ Должно быть ясно, что есть выбор $t$такой, что $\mathcal{Z}_t$не существует, нам требуется $t$такой, что $|s(x)+t(x)|\to\infty$как $|x|\to\infty$все еще держит. Даже если это верно, есть такие варианты, что $\mathcal{Z}_t\neq\mathcal{Z}$, в качестве простой демонстрации вы можете просто выбрать $s(x)=x^2-2x+1$и $t(x)=-x^2$затем $z(s)=\{1\}$и $s'(1)=0$следовательно $\mathcal{Z}=0$с другой стороны, нулевое геометрическое место $z(s+t)=\{1/2\}$ $s'(1/2)+t'(1/2)=-2$следовательно $\mathcal{Z}_{t=-x^2}=-1$.