Проблема углового момента в квантовой механике

Question

Проблема углового момента в квантовой механике

pter26

Частица со спином $\frac{1}{2}$ в $t=0$ находится в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией:
$Ψ "=" (| + ⟩ + (1 + потому что θ) | - ⟩) ф (р) .$ $\Psi=(|+\rangle +(1+\cos\theta) |-\rangle)f(r).$ Временная эволюция определяется выражением $ЧАС "=" \frac{ю}{ℏ} (л_{Икс}^{2} + л_{у}^{2})$ $H=\frac{\omega} {\hbar} (L_x^2+L_y^2)$

Я должен рассчитать ожидаемое значение оператора $O=J_+J_-$

Из-за наличия косинуса я написал угловую часть квантового состояния со сферическими гармониками, я знаю, что

Д_{1}^{0} "=" \sqrt{\frac{3}{4 π}} с о с θ

$Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}cos\theta$ (

Y_{ℓ}^{m}

$Y_\ell^m$ ) Так

с о с θ "=" \sqrt{\frac{4 π}{3}} Д_{1}^{0}

$cos\theta=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}Y_1^0$ Я также знаю, что

Д_{0}^{0} "=" \sqrt{\frac{1}{4 π}}

$Y_0^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi}}$ В конце я получил (после перенормировки)

Ψ "=" г (р) (| 00 ⟩ | + ⟩ + | 00 ⟩ | - ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} | 10 ⟩ | - ⟩)

$\Psi=g(r) (|00\rangle|+\rangle+|00\rangle|-\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}|10\rangle|-\rangle)$ Где

| L^{2}, L_{z} ⟩ = | 00 ⟩ = Y_{0}^{0}

$|L^2, L_z\rangle=|00\rangle=Y_0^0$ и

| 10 ⟩ = Y_{1}^{0}

$|10\rangle=Y_1^0$

С полученной временной эволюцией:

Ψ_{т} "=" г (р) (| 00 ⟩ | + ⟩ + | 00 ⟩ | - ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} е^{- \frac{я ю т}{\sqrt{3}}} | 10 ⟩ | - ⟩)

$\Psi_t=g(r) (|00\rangle|+\rangle+|00\rangle|-\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-\frac{i\omega t} {\sqrt{3}}}|10\rangle|-\rangle)$ но теперь я должен применить композицию угловых моментов, чтобы вычислить

⟨ O ⟩

$\langle O\rangle$ и вот проблема, я никогда не применял композицию в случае волновой функции, зависящей от двух разных значений

ℓ

$\ell$ , я думал, что могу рассматривать две части по отдельности с разными

ℓ

$\ell$ но я не знаю, возможно ли это! Как я могу решить эту проблему?

Дешеле Шильдер

Как вы нашли (после перенормировки) множитель

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ? Разве это не должно быть

\sqrt{1 - \frac{1}{π}}

$\sqrt{1-\frac{1}{\pi}}$ ? А зачем ты заменил

f (r)

$f(r)$ к

g (r)

$g(r)$ ?

Ответы (1)

Проблема углового момента в квантовой механике

Как вы нашли (после перенормировки) множитель $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ? Разве это не должно быть $\sqrt{1-\frac{1}{\pi}}$ ? А зачем ты заменил $f(r)$ к $g(r)$ ?

секавара · Answer 1

Я не думаю, что необходимо обращаться к основе полного углового момента, чтобы вычислить это выражение. В принципе, вы могли бы просто написать

О "=" {Дж}_{+} {Дж}_{-} "=" (л_{+} + С_{+}) (л_{-} + С_{-})

$\begin{equation} O = J_+ J_- = (L_+ + S_+)(L_- + S_-) \end{equation}$ и используйте обычные формулы для этих лестничных операторов.

Вы даже можете упростить вычисления, используя тот факт, что эрмитово сопряжение $J_+$ является $J_-$ и наоборот. Это означает, что вы можете сначала вычислить состояние $|\phi\rangle = J_- |\psi\rangle$ . А потом осознать, что

⟨ ψ | О | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ | {Дж}_{+} {Дж}_{-} | ψ ⟩ "=" ⟨ ф | ф ⟩ .

$\begin{equation} \langle\psi|O|\psi\rangle = \langle\psi|J_+ J_-|\psi\rangle =\langle\phi|\phi\rangle . \end{equation}$ Так что все дело в вычислениях

J_{-} | ψ ⟩ = (L_{-} + S_{-}) | ψ ⟩

$J_- |\psi\rangle = (L_- + S_-) |\psi\rangle$ и найти внутренний продукт с самим собой.

А что, если мне нужно найти среднее значение $J^2$ в такой ситуации?
Вы можете использовать аналогичные приемы. В этом случае, поскольку вы уже вычислили математическое ожидание $J_+ J_-$ , вы можете использовать идентификатор $J^2 = J_+ J_- + J^2_z - \hbar J_z$ . А потом напиши $J_z = L_z + S_z$ .

Проблема углового момента в квантовой механике

pter26

Дешеле Шильдер

Ответы (1)

секавара

pter26

секавара

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Ожидаемое значение оператора положения для состояний углового момента

Преобразование во вращающуюся рамку в основе xxx

Ожидаемое значение полного углового момента ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга