Коммутация оператора углового момента [закрыто]

я предполагаю$\hbar=1$.

$$\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}= \frac{1}{2}\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}+ \frac{1}{2}\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} = \frac{1}{2}\left(\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} + \hat{\bf p}\cdot \hat{\bf x}\right) + 3i I = \frac{1}{2}\left[(\hat{\bf x} + \hat{\bf p})^2 - \hat{\bf x}^2 - \hat{\bf p}^2\right] + 3 i I\:.$$ Крайний правый член коммутирует с$\hat{L}_i$потому что это сумма четырех скаляров относительно поворотов. Другой подход (который не является прямым вычислением, описанным в другом ответе): $$e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i}= e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x} e^{i \theta L_i} e^{-i \theta L_i}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i} = (R_\theta \hat{\bf x}) \cdot (R_\theta \hat{\bf p})= \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}$$ где$R_\theta$это вращение$SO(3)$вокруг${\bf e}_i$угла$\theta$. Взяв производную крепость$\theta=0$обеих сторон $$e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i}= \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}$$ у нас есть $$[L_i,\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} ]=0\:.$$

Вы можете напрямую рассчитать коммутационное соотношение$[L_i,x_jp_j]$. Правило Лейбница приравнивает это к$[L_i,x_j]p_j+x_j[L_i,p_j]$.

Написано полностью, это$\epsilon_{ilm}[x_lp_m,x_j]p_j+x_j\epsilon_{ilm}[x_lp_m,p_j]$.

Теперь просто снова используйте правило Лейбница ($[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C$) и канонические коммутационные соотношения ($[x_a,x_b]=[p_a,p_b]=0$и$[x_a,p_b]=i \hbar \delta_{ab}$).