Лагранжиан для вопросов о выводе релятивистской пыли

Question

Лагранжиан для вопросов о выводе релятивистской пыли

Физика
метрический тензор
общая теория относительности
лагранж-формализм
вариационный принцип
стресс-энергия-импульс-тензор

Ондржей Чертик

В большинстве учебников по ОТО выводится тензор энергии напряжения для релятивистской пыли:

Т_{мю ν} знак равно р в_{мю} в_{ν}

$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$ И затем помещают это в правую часть уравнений Эйнштейна. Я хотел бы вывести это из какого-то действия. Я прочитал все стандартные учебники по ОТО, и единственный, в котором говорится об этом, — это «Общая теория относительности » П. Дирака. Если у вас нет книги, позвольте мне быстро воспроизвести вывод здесь. Действие для релятивистской пыли:

С_{М} знак равно - \int р с \sqrt{в_{мю} в^{мю}} \sqrt{| дет грамм |} г^{4} Икс знак равно - \int с \sqrt{п_{мю} п^{мю}} г^{4} Икс

$S_M = -\int \rho c \sqrt{v_\mu v^\mu} \sqrt{ |\det g| } d^4 x = -\int c \sqrt{p_\mu p^\mu} d^4 x$ куда

p^{μ} = ρ v^{μ} \sqrt{| det g |}

$p^\mu=\rho v^\mu \sqrt{ |\det g| }$ – плотность 4-импульса . Теперь мы различаемся относительно

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ следующее:

дельта С_{М} знак равно - дельта \int с \sqrt{п_{мю} п^{мю}} г^{4} Икс знак равно

$\delta S_M = - \delta \int c \sqrt{{p}_\mu {p}^\mu} d^4 x =$

знак равно - \int с \frac{дельта ({грамм}^{мю ν} п_{мю} п_{ν})}{2 \sqrt{п_{α} п^{α}}} г^{4} Икс знак равно

$= - \int c {\delta(g^{\mu\nu} {p}_\mu {p}_\nu) \over 2\sqrt{{p}_\alpha {p}^\alpha}} d^4 x =$

знак равно - \int с \frac{п_{мю} п_{ν}}{2 \sqrt{п_{α} п^{α}}} дельта ({грамм}^{мю ν}) г^{4} Икс знак равно

$= - \int c { {p}_\mu {p}_\nu \over 2\sqrt{{p}_\alpha {p}^\alpha}} \delta(g^{\mu\nu}) d^4 x =$

знак равно - \int с \frac{р в_{мю} р в_{ν} {\sqrt{| дет грамм |}}^{2}}{2 р с \sqrt{| дет грамм |}} дельта ({грамм}^{мю ν}) г^{4} Икс знак равно

$= - \int c { \rho v_\mu \rho v_\nu \sqrt{ |\det g| }^2 \over 2 \rho c \sqrt{ |\det g| } } \delta(g^{\mu\nu}) d^4 x =$

знак равно - \int \frac{1}{2} р в_{мю} в_{ν} дельта ({грамм}^{мю ν}) \sqrt{| дет грамм |} г^{4} Икс

$= - \int {1\over2} \rho v_\mu v_\nu \delta(g^{\mu\nu}) \sqrt{ |\det g| } d^4 x$ Из чего вычисляем тензор энергии напряжения, используя для него стандартную формулу ОТО:

Т_{мю ν} знак равно - \frac{2}{\sqrt{| дет грамм |}} \frac{дельта С_{М}}{дельта {грамм}^{мю ν}} знак равно

$T_{\mu\nu} = - {2\over\sqrt{ |\det g| }}{\delta S_M\over\delta g^{\mu\nu}} =$

знак равно - \frac{2}{\sqrt{| дет грамм |}} (- \frac{1}{2} р в_{мю} в_{ν} \sqrt{| дет грамм |}) знак равно

$= - {2\over\sqrt{ |\det g| }} \left( -{1\over2} \rho v_\mu v_\nu \sqrt{ |\det g| } \right)=$

знак равно р в_{мю} в_{ν}

$= \rho v_\mu v_\nu$

Если мы изменим относительно $x^\mu$ , получаем уравнение геодезической (вычисление длинное, см. например здесь , или книгу Дирака). Я буду рад прояснить любой из приведенных выше выводов, если это необходимо. Теперь мои вопросы:

1) Почему этого нет в каждом учебнике GR? Есть ли какие-то проблемы с выводом?

2) Из этого действия следует уравнение геодезической $S_M$ . Стандартный способ вывести геодезическое уравнение - максимизировать собственное время

т знак равно \int г т знак равно \int \sqrt{- \frac{1}{с^{2}} г с^{2}} знак равно \int \sqrt{- \frac{1}{с^{2}} {грамм}_{мю ν} г {Икс}^{мю} г {Икс}^{ν}} .

$\tau = \int d \tau = \int \sqrt{-{1\over c^2} d s^2} = \int \sqrt{-{1\over c^2} g_{\mu\nu} d x^\mu d x^\nu} .$ Есть ли какая-то связь между этим

τ

$\tau$ и

S_{M}

$S_M$ поскольку оба дают нам одно и то же геодезическое уравнение?

3) Правильно ли просто сказать, что вся ОТО для релятивистской пыли (без учета электромагнетизма) следует из этого действия:

С знак равно \frac{с^{4}}{16 π грамм} \int р \sqrt{| дет {грамм}_{мю ν} |} г^{4} Икс - \int с \sqrt{п_{мю} п^{мю}} г^{4} Икс

$S = {c^4\over 16\pi G} \int R \sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| } d^4 x -\int c \sqrt{p_\mu p^\mu} d^4 x$ при изменении относительно

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ это дает уравнения Эйнштейна с

T_{μ ν} = ρ v_{μ} v_{ν}

$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$ тензор в правой части при изменении относительно

x^{μ}

$x^\mu$ это дает нам геодезическое уравнение (для каждой частицы пыли).

4) Почему нам нужно скрывать $\sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| }$ в 4-импульсной плотности и не меняют ее? Дирак говорит, что это потому, что $\rho$ и $v^\mu$ не являются независимыми величинами при изменении, но я не понимаю аргумент.

5) Стандартный способ — использовать действие Гильберта, действие для поля элмага, тензор энергии напряжений для пыли и вывести уравнение геодезии как сохранение тензора энергии напряжений, которое следует из сохранения тензора Эйнштейна. Как этот подход связан с вышеизложенным? Не физически ли лучше просто постулировать совокупное действие и вывести из него все?

Примечание. Дирак показывает, как включить электромагнетизм, просто используя для него стандартное действие, и описанная выше процедура дает правильный элмаг. тензор в правой части уравнений Эйнштейна и сила Лоренца в правой части уравнения геодезических, а также уравнения Максвелла для поля элмага.

Джон

Я продолжаю не соглашаться с вашей трактовкой тензора энергии напряжения. Вы должны писать прямо

Т_{мю ν} знак равно \frac{- 2}{\sqrt{- грамм}} \frac{дельта (\sqrt{- грамм} л_{М})}{дельта {грамм}^{мю ν}} знак равно - 2 \frac{дельта л_{М}}{дельта {грамм}^{мю ν}} + {грамм}_{мю ν} л_{М}

$T_{\mu\nu}:= \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}$ и следует сохранить срок

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ .

Ондржей Чертик

Ваше определение точно такое же, как мое, потому что

S_{M} = \int \sqrt{- g} L_{M} d^{4} x

$S_M = \int \sqrt{-g}\mathcal{L}_M d^4 x$ . Таким образом, мы должны получить точно такие же результаты для тензора энергии напряжения. С каким результатом (или расчетом) вы не согласны?

Ондржей Чертик

(Я отредактировал основной пост, чтобы было ясно, что

S_{M}

$S_M$ является действием, а не лагранжианом.)

Рон Маймон

@Ondrej: с вашим вопросом все в порядке, но обычно вы хотите задавать отдельные вопросы отдельно. В этом случае только вопрос 4 несколько отличается от других вопросов и мог бы быть отдельным вопросом.

Ответы (1)

Лагранжиан для вопросов о выводе релятивистской пыли

Я продолжаю не соглашаться с вашей трактовкой тензора энергии напряжения. Вы должны писать прямо $Т_{мю ν} знак равно \frac{- 2}{\sqrt{- грамм}} \frac{дельта (\sqrt{- грамм} л_{М})}{дельта {грамм}^{мю ν}} знак равно - 2 \frac{дельта л_{М}}{дельта {грамм}^{мю ν}} + {грамм}_{мю ν} л_{М}$ $T_{\mu\nu}:= \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}$ и следует сохранить срок $\sqrt{-g}$ .
Ваше определение точно такое же, как мое, потому что $S_M = \int \sqrt{-g}\mathcal{L}_M d^4 x$ . Таким образом, мы должны получить точно такие же результаты для тензора энергии напряжения. С каким результатом (или расчетом) вы не согласны?
(Я отредактировал основной пост, чтобы было ясно, что $S_M$ является действием, а не лагранжианом.)
@Ondrej: с вашим вопросом все в порядке, но обычно вы хотите задавать отдельные вопросы отдельно. В этом случае только вопрос 4 несколько отличается от других вопросов и мог бы быть отдельным вопросом.

Рон Маймон · Answer 1

Энергия напряжения пыли представляет собой сумму энергий напряжения независимых частиц. Каждая частица движется с 4-скоростью $v^\mu$ , а это означает, что он несет импульс $mv^\mu$ в направлении $v^\mu$ , или имплюсивный тензор напряжений (поток импульса) $T^{\mu\nu}=mv^\mu v^\nu$ в местоположении частицы (это необходимо умножить на дельта-функцию в местоположении частицы). Добавление этого вклада тензора напряжений к непрерывному распределению частиц по массе воспроизводит тензор напряжений пыли, и вы можете вычислить его, просто подумав о том, какой импульс частицы пыли переносят через бесконечно малую поверхность в каждую единицу времени. Итак, это очень простая вещь физически.

Вопрос 1: почему этого нет в других книгах, кроме Дирака?

Обычно во всех книгах по ОТО делают вывод, подобный этому, но они делают это частица за частицей, вместо того, чтобы суммировать все частицы в пыли. Действие частицы представляет собой длину мировой линии, установка вариации на ноль дает уравнение движения (расчет полностью аналогичен расчету Дирака, поскольку каждая частица в пыли имеет действие, независимо равное длине ее мировой линии), и глядя при метрической производной дает член источника тензора напряжений для уравнений Эйнштейна. Так что это действительно то же самое, что и одна частица.

Вероятная причина, по которой Дираку неудобно использовать действие с одной частицей, заключается в том, что ОТО несовместима с точечными источниками. Точечный источник гравитации непостоянен, он находится внутри своего собственного швартшильдовского горизонта. Одна современная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать точечный источник как бесконечно малую черную дыру, но тогда вам нужно установить, что действие черной дыры можно принять за длину ее приблизительной мировой линии, что является сложным вычислением вакуумного уравнения. Проблема обойдена, если у вас есть размазанная жидкость энергии стресса, как в пыли, поэтому Дирак, вероятно, чувствовал себя более комфортно, получая ее таким образом, хотя это вносит некоторые небольшие дополнительные сложности.

Вопрос 2: Связь между действием пыли и действием длины дуги

Действие длины дуги для точечной частицы равно

С (Икс) знак равно \int г т | \dot{Икс} (т) | знак равно \int г^{4} Икс \int г т {дельта}^{4} (Икс - Икс (т)) \sqrt{{\dot{Икс}}^{мю} (т) {\dot{Икс}}^{ν} (т) {грамм}_{мю ν} (Икс (т))}

$S(X) = \int d\tau |\dot{X}(\tau)| = \int d^4x \int d\tau \;\;\delta^4(x-X(\tau)) \sqrt{\dot{X}^\mu(\tau)\dot{X}^\nu(\tau)g_{\mu\nu}(X(\tau))}$

Где второе выражение — это просто формальное интегрирование по пространству, которое коллапсирует на траекторию частицы, чтобы описать, где находится это действие.

Обозначьте каждую частицу пыли ее начальным положением. $\sigma$ , которая меняется вдоль некоторой поверхности начальных данных. Для каждого $\sigma$ , рассмотрим интегральные линии векторного поля $V^\mu$ , и назовите это $x^\mu(\sigma,\tau)$ , траектории пыли. Вы можете записать действие пыли как сумму действий отдельных частиц.

С знак равно \int г^{4} Икс \int г^{3} о р (о) С ({Икс}^{мю} (а, т)

$S = \int d^4x \int d^3\sigma \rho(\sigma) S(x^\mu(a,\tau)$

Где S(a) — действие длины дуги для каждой частицы.

обратите внимание, что плотность физического пространства-времени $\rho(x)$ связано с начальной плотностью гиперповерхности $\rho(\sigma)$ от

р (Икс) знак равно \int г о г т р (о) {дельта}^{4} (Икс - Икс (о, т))

$\rho(x) = \int d\sigma d\tau \rho(\sigma) \delta^4(x-X(\sigma,\tau))$

Если вы избавитесь от $(\tau,\sigma)$ интегралы в действии с помощью дельта-функций, вы восстанавливаете действие Дирака. Когда вы меняете траектории отдельных пылинок, вы получаете геодезическое уравнение. Когда вы меняетесь $g_{\mu\nu}$ вы получаете отдельные напряжения частиц, вносящие вклад в общую энергию напряжения. Подобные вещи появляются во всех современных книгах по GR.

Количество частиц $\rho(a)$ нельзя варьировать в лагранжевой формулировке --- общее число частиц в пыли должно сохраняться. Таким образом, вы можете варьировать траектории, но не количество частиц.

Вопрос 3: Полно ли действие Дирака для пыли/гравитации?

Это дает уравнение движения пыли и уравнения Эйнштейна, основанные на правильной энергии напряжения пыли, так что да.

Вопрос 4: Что случилось с изменением $g_{\mu\nu}$ держа $P^\mu$ исправлено?

Это немного тоньше --- когда вы меняете $g_{\mu\nu}$ вы меняете объем пространства-времени, а также локальную метрику, но вы должны делать вариацию, сохраняя число частиц фиксированным. Если вы меняетесь $g_{\mu\nu}$ постоянно $\rho$ вы получите неверный вариант — вы уменьшите количество частиц по мере уменьшения общего объема пространства-времени. Это значит, что $\rho$ должен преобразовываться как плотность, когда вы меняете $g$ .

Чтобы не иметь дело с плотностью, Дирак использует тот факт, что $P^{\mu}$ локально сохраняется величина в отсутствие гравитации, поэтому она преобразуется как простой вектор. Изменение плотности $\rho$ поглощается фактором $\sqrt{g}$ входит в определение $P$ . Таким образом, нет дополнительного изменения громкости для $P^{\mu}$ . Вы можете сделать это без упрощения Дирака, и вы получите тот же ответ, но в нем немного больше алгебры и меньше концептуального освещения.

Вопрос 5: Как лучше всего получить все?

Я не думаю, что принцип действия обязательно лучше, потому что макроскопическое уравнение, описывающее пыль, не обязательно должно следовать из лагранжиана. У них может быть рассеянность. Таким образом, если вы соедините рассеивающую жидкость Навье-Стокса с гравитацией, вы все равно ожидаете получить хорошее уравнение движения с вязкостью, но вы не ожидаете лагранжевого описания, когда вязкость отлична от нуля.

Напряжения, вызванные вязкостью, не являются лагранжевыми, но они все же тяготеют, и нет причин опускать некоторые напряжения, поскольку они не являются фундаментальными. Во времена Дирака стремились сделать классические теории как можно более полными, потому что они были проводниками к более полной теории. Таким образом, Дирак, возможно, захотел рассмотреть модель, в которой электрон, например, является континуальной моделью пыли, и тогда важно иметь лагранжиан. Современные теории квантовой гравитации продвинулись до такой степени, что, как мне кажется, нет необходимости быть таким педантичным, и слегка непоследовательные вещи, такие как точечная частица, на промежуточных этапах вполне допустимы. Так что нет причин предпочитать лагранжев подход для такого рода вещей, хотя он хорош, когда он существует.

Рон, большое спасибо за этот удивительный ответ! Я пойду осторожно и подумаю об этом некоторое время, прежде чем задавать дополнительные вопросы. Но теперь у меня есть одно: я думаю, что диссипирующие уравнения Навье-Стокса в некотором смысле являются лишь приближением для микроскопических явлений, так что это нормально, что их нельзя вывести из лагранжиана. Но кажется, что фундаментальные взаимодействия (на классическом уровне) можно вывести из лагранжиана, не так ли?
@Ondrej: В общем, вам следует подождать, прежде чем принимать ответ, возможно, появятся лучшие ответы. Этот материал для меня не оригинален, так что не надо хвалить. Я имел в виду, что пыль так же не фундаментальна, как и диссипативные жидкости, поэтому, если вы согласны с нелагранжевой моделью Навье-Стокса, то почему не пыль? Если вы соедините стандартную модель с ОТО, вы просто добавите лагранжианы, и нет никаких очевидных ограничений по этому вопросу со стороны гравитации. Для теории струн, которая является более фундаментальной теорией, вам нужна последовательность, и существуют строгие ограничения на разрешенную материю.

Лагранжиан для вопросов о выводе релятивистской пыли

Ондржей Чертик

Джон

Ондржей Чертик

Ондржей Чертик

Рон Маймон

Ответы (1)

Рон Маймон

Вопрос 1: почему этого нет в других книгах, кроме Дирака?

Вопрос 2: Связь между действием пыли и действием длины дуги

Вопрос 3: Полно ли действие Дирака для пыли/гравитации?

Вопрос 4: Что случилось с изменением $g_{\mu\nu}$ держа $P^\mu$ исправлено?

Вопрос 5: Как лучше всего получить все?

Ондржей Чертик

Рон Маймон

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Тензор энергии-импульса и ковариантная производная

Уравнение Эйнштейна и тензор энергии-импульса скалярного поля

Тензор энергии-импульса от действия поля материи

Теорема Стокса в действии Эйнштейна-Гильберта

Действие Эйнштейна и вторые производные

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Нахождение метрического тензора из уравнения поля Эйнштейна?

Лагранжиан для идеальной жидкости Тензор энергии-импульса

Содержит ли действие Эйнштейна-Гильберта только первые производные метрики?

Лагранжиан для вопросов о выводе релятивистской пыли

Ондржей Чертик

Джон

Ондржей Чертик

Ондржей Чертик

Рон Маймон

Ответы (1)

Рон Маймон

Вопрос 1: почему этого нет в других книгах, кроме Дирака?

Вопрос 2: Связь между действием пыли и действием длины дуги

Вопрос 3: Полно ли действие Дирака для пыли/гравитации?

Вопрос 4: Что случилось с изменениемграмммк ν грамм мю ν g_{\mu\nu}держапмю п мю P^\muисправлено?

Вопрос 5: Как лучше всего получить все?

Ондржей Чертик

Рон Маймон

Вопрос 4: Что случилось с изменением $g_{\mu\nu}$ держа $P^\mu$ исправлено?