Нахождение метрического тензора из уравнения поля Эйнштейна?

Я поставил перед собой задачу изучить всю математику, лежащую в основе уравнения поля Эйнштейна (EFE), и из чтения кажется, что метрический тензор — это то, что мы пытаемся найти (из 10 уравнений, которые формируют EFE). но поскольку почти все члены в нем являются функциями этого метрического тензора, это кажется очень трудным. Какой тип математики мы используем для этого? (Я скопировал и вставил EFE только для справки):

р мю ν − 1 2 г мю ν р + г мю ν Λ "=" 8 π г с 4 Т мю ν

Редактировать: Спасибо за ваши комментарии. Поскольку мне больше не у кого спросить, это уравнение мы пытаемся решить:

( ∂ ∂ Икс λ Г мю ν λ − ∂ ∂ Икс ν Г λ мю λ + Г λ р λ Г ν мю р − Г ν р λ Г λ мю р ) − 1 2 г мю ν г а б ( Г а б , с с − Г а с , б с + Г а б д Г с д с − Г а с д Г б д с ) + г мю ν Λ "=" 8 π г с 4 Т мю ν

с р мю ν и р условия расширены и где г мю ν и Т мю ν являются µν-ыми компонентами соответствующих тензоров? (да или нет ответ будет в порядке, спасибо).

Вы видели статью в Википедии о математике ОТО ?
Это действительно очень тяжело. Попробуйте погуглить "нелинейное уравнение в частных производных".
Просто из интереса, есть ли компьютерные программы, которые могут решить их за нас? а если нет то почему?
Вас может заинтересовать этот вопрос
Стандартным справочником являются «Точные решения уравнений поля Эйнштейна» Стефани и др. В нем подробно описаны многие методы поиска и построения решений.
Всего один крошечный шаг — заменить каждый символ Кристоффеля соответствующей суммой трех частных производных метрического тензора, и вы получите полные УЧП. Для меня это похоже на УЧП второго порядка. Слишком много размахивания руками в исследованиях GR. Я не люблю паршивая речь. Современные дифференциальные геометры на порядок более строгие и точные. #разглагольствование
Посмотрите на quora.com/…

Ответы (3)

Это действительно комментарий, но поле комментария стало немного длиннее.

Я предполагаю, что, как и я, ваш опыт в физике относится к области, где решение дифференциальных уравнений является рутинной частью работы. Мы привыкли анализировать проблему, записывать дифференциальное уравнение, описывающее физику, и решать его, если повезет, аналитически или, в худшем случае, бросая его на компьютер.

Что меня очень сильно поразило, когда я начал читать о GR, так это то, что этот подход почти никогда не используется. Уравнения настолько сложны, что почти в каждом случае метрика получается либо изобретательным использованием симметрии, либо простым угадыванием ответов до тех пор, пока не будет найден подходящий. Если вы прочтете вывод метрики Шварцшильда, которая, вероятно, является самой простой из тех, что встречаются большинству из нас, то увидите, что Шварцшильд получил ответ, угадав базовую форму метрики, а затем использовав высокую симметрию, чтобы исключить все возможности, кроме одной. Керр, похоже, пришел к своему результату благодаря вдохновенным догадкам (хотя и вдохновленным огромными усилиями!!).

Все это кажется нам, хеджевым физикам, каким-то неудовлетворительным. Такое ощущение, что общие теории относительности все время жульничают и никогда не действуют так методично, как мы. Конечно, это несправедливое впечатление, рожденное невежеством, но, тем не менее, я готов поспорить, что именно так вы почувствуете себя, когда начнете читать по теме.

Если вы хотите начать изучать ОТО в гневе, то я настоятельно рекомендую «Первый курс общей теории относительности» Бернарда Шютца. Это приведет вас от начальной точки знания основ исчисления к точке, где вам будет удобно выполнять базовые вычисления GR. Заметьте, однако, что даже после 376 страниц вы все равно не увидите уравнения Эйнштейна, написанного полностью.

Хороший пост, но я хочу прокомментировать ваш комментарий, говоря, что я нашел книгу Шютца абсолютно бесполезной для моего понимания GR. Он гордится своей интуитивностью и сметает всю ясную структуру дифференциальной геометрии под ковер «понимания». Затем вы сталкиваетесь с проблемой GR, которую нужно решить самостоятельно, и у вас ничего не получается, потому что все, что вы когда-либо делали, это наблюдали, как Schutz решает проблемы с помощью специальной мольбы («В этом случае мы можем предположить ...»).
Добавлю, что в некоторых случаях, если составить анзац для метрики, состоящей из функций одной переменной, то иногда можно свести задачу к задаче решения ОДУ, иногда поддающейся аналитической обработке.
@ACuriousMind: Справедливости ради следует отметить, что Шуц написал дополнительный том, посвященный дифференциальной геометрии . Я не думаю, что Schutz будет хорошим началом, если вы хотите заняться исследованиями в области GR, но для заинтересованных любителей, таких как я (и Джозеф?), заметание деталей под ковер не дает нам увязнуть.
@joshphysics: "анзац" - разве это не шикарное слово, которое вы, математические типы, используете, когда не хотите признавать, что догадываетесь? :-)
@ACuriousMind: на самом деле, как только вы прочитали, выучили и внутренне переварили Schutz, одно из лучших мест для расширения вашего понимания находится прямо здесь, на Physics SE. Попытка ответить на вопросы о GR — чрезвычайно эффективный способ узнать о нем.
Подход Керра начался с изучения алгебраически специального пространства-времени. Большинство из них оказываются такими, как пространство-время Тауба, которые на самом деле не применимы физически, но Керр был достаточно проницателен, чтобы увидеть, что он нашел обобщение пространства-времени Шварцшильда. Итак, он использовал симметрию, но это была симметрия алгебраической структуры тензора Вейля, а не обычных физических степеней свободы.
@ACuriousMind: если вас разочаровала нематематическость Шютца, вам следует взять книгу Уолда. Это определенно было отправной точкой для меня.
Только сферическая симметрия определяет анзац Шварцшильда. Керр работал с классификацией Петрова (с вакуумным пространством-временем, отличным от типа I) и доказал, что все векторы Киллинга относятся к одному из двух типов. Единственным необоснованным предположением была удобная форма асима. времяподобный вектор Киллинга; в остальном открытие было довольно строгим. Примечательно, что никто не утверждал, что это решение было уникальным , пока десятилетие спустя не было доказано Робисоном. Я не говорю, что этот комментарий-ответ неверен (как это обычно бывает в презентациях), но релятивисты далеко не так морально распущены, как может показаться на первый взгляд.
@JohnRennie Ты ругаешь меня за мое элитарное слово, Ренни!? ;) Да, конечно, это предположение, но анзац обычно является обоснованным предположением, и я бы сказал, что это общепринятое значение термина. Кроме того, если оставить в стороне мою пышность, основной смысл моего комментария заключался не в том, чтобы использовать для нас замечательный термин «анзац», а в том, чтобы указать, что догадки, включающие только функции одной переменной, приводят к ОДУ, а это часто может быть значительным упрощением.
Я и раньше слышал о хедж-жрецах, но «хедж-физики» заставили меня посмеяться. +1 :)
Чтобы добавить к вашему комментарию @ACuriousMind (и он действителен), я думаю, что умы многих людей получают пользу от двух текстов: «чтения перед сном» и строгого. Schutz определенно хорош для чтения перед сном, и это ни в коей мере не умаляет его достоинства; он наполняет ум физическими знаниями, которые помогают понять более строгие презентации, такие как Вальд. Я бы сказал то же самое (хотя это ОЧЕНЬ старо) об «Смысле относительности» Эйнштейна. Иногда мне кажется, что мы слишком многого ожидаем, чтобы найти «Библию», хотя ее не всегда существует. Кстати, что вы думаете о Миснер Торн Уилер?

Если у вас есть метрика, то у вас также есть само многообразие и все точки в нем, и вы можете использовать метрику для вычисления тензора Эйнштейна в каждой точке, а затем умножить на скалярную константу, чтобы получить тензор энергии-импульса ( если вы знаете значение своей космологической постоянной).

Но обратное направление совсем другое. Например, если вы начали с многообразия (но никто не дал вам метрику, только топологическое пространство), а затем у вас был тензор энергии-импульса, определенный в каждой точке вашего многообразия, у вас уже есть много, так как у вас есть многообразие . Так что это может быть слишком много информации, и это может рассматриваться как мошенничество. Но может быть и слишком мало информации. Тензор энергии-импульса является исходным термином, это как в электромагнетизме, если кто-то дал вам заряд и ток, этого на самом деле недостаточно, чтобы найти поля, вам также нужны граничные условия.

Давайте рассмотрим простой, но трудный пример. Ваш коллектор р 4 , ваш тензор энергии-импульса равен Т мю ν "=" 0 . Есть много возможных показателей. У вас может быть метрика, соответствующая гравитационной волне, бегущей влево, одной бегущей вправо, одной вверх, одной вниз, одной вперед, одной назад. Или просто пустое плоское пространство без гравитационных волн, пространство-время специальной теории относительности. Это полностью похоже на соответствующую ситуацию в электромагнетизме, когда нет ни заряда, ни тока, у вас может не быть полей или у вас может быть электромагнитная волна, идущая в любом направлении. Просто недостаточно информации.

Стандартная процедура нахождения компонентов метрического тензора состоит из следующих шагов.

  1. Угадайте пробную формулу динамической эволюции компонент метрического тензора ( г мю ν ), учитывая симметрии, которыми обладает ваша данная система. Пробная формула должна включать достаточное количество неизвестных параметров.
  2. Рассчитайте коэффициенты связи по вашей пробной формуле.
  3. Вычислить компоненты тензора кривизны Римана по коэффициентам связи.
  4. Вычислите компоненты тензора Эйнштейна из тензора Римана.
  5. Подставьте тензор Эйнштейна в уравнение поля Эйнштейна.
  6. Сопоставив граничные условия (пространство-время становится плоским на бесконечности) и найдите неизвестные параметры, которые вы ранее установили в своем метрическом тензоре.
  7. Если вы найдете решение метрического тензора, которое удовлетворяет уравнению Эйнштейна, а также граничному условию, то полученное вами решение является правильным решением. Если нет, измените пробную версию и повторите шаги, описанные выше.

Как видите, процедура сильно зависит от (обоснованного) предположения. Следовательно, его нельзя применять к ситуации, когда пространство-время лишено симметрии. По этой причине у нас не так много аналитических решений уравнения Эйнштейна.

Нахождение метрического тензора из уравнения поля Эйнштейна?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v