Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Question

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Атом

Я самостоятельно изучаю книгу Фридмана и Засскинда «Специальная теория относительности и классическая теория поля» . Следующий вопрос возник при чтении раздела 6.3.4 Инвариантные уравнения Лоренца .

В этой лекции они выводят закон силы Лоренца из лагранжиана, заданного формулой

\begin{matrix} (6.13) & л (т, {Икс}^{я}, {\dot{Икс}}^{я}) "=" - м \sqrt{1 - ({\dot{Икс}}^{я})^{2}} + е {\dot{Икс}}^{мю} А_{мю} (т, {Икс}^{я}), \end{matrix}

$\mathcal L(t, X^i, \dot X^i) = -m\sqrt{1-(\dot X^i)^2} + e\dot X^\mu A_\mu(t, X^i),\tag{6.13}$ где

A

$A$ является 4-векторным полем. Теперь, решая уравнения Эйлера-Лагранжа, они получают

\begin{matrix} (6.34) & м \frac{г U_{мю}}{г т} "=" е Ф_{мю ν} U^{ν}, \end{matrix}

$m {dU_\mu\over d\tau} = e F_{\mu\nu}U^\nu,\tag{6.34}$ для каждого

μ

$\mu$ . Здесь,

U

$U$ 4-скорость и

F_{μ ν} := \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu}:=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ для всех

μ, ν

$\mu, \nu$ . Кроме того, использовалось обозначение суммы Эйнштейна.

Теперь они утверждают, что это уравнение «явно инвариантно» относительно преобразований Лоренца, и приводят причину, по которой «все объекты в уравнениях являются 4-векторами и все повторяющиеся индексы правильно сжаты». Я ничего не понимаю в этом.

Вопрос: Я думаю, что один из способов показать лоренц-инвариантность любого уравнения — просто убедиться, что все величины, входящие в уравнение, являются либо скалярами, либо 4-векторами. Следовательно, для приведенного выше уравнения нам нужно показать, что комплекс четырех чисел $(F_{\mu\nu} U^\nu)_{\mu = 0}^3$ на самом деле является 4-вектором ( т. е . он действительно преобразуется как 4-вектор при лоренцевом усилении в $x$ -направление и при пространственных вращениях).

Но я застрял в доказательстве этого. Любая помощь приветствуется.

Ответы (2)

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

оневал · Answer 1

Вы должны разделить сформулированный аргумент на две части.

Часть 1: «Все объекты, фигурирующие в уравнении, являются 4-векторами или тензорами Лоренца»

Часть 2: «Если выполняется часть 1 и индексы сокращаются, получаются ковариантные величины Лоренца».

Я попытаюсь перефразировать то, что должно быть показано. Уравнение называется (лоренцевым) ковариантным, если при произвольном преобразовании Лоренца функциональная форма уравнения остается той же. Итак, давайте сначала нападем на часть 2 утверждения, которая проще. Скажем, мы начинаем с количества $U_\mu, F_{\mu\nu}$ , которые мы предполагаем, являются 4-вектором и тензором Лоренца. Сначала напомним определяющее свойство преобразования Лоренца: $\Lambda^\mu_{\;\;\nu}$ :

η_{мю ν} Λ_{α}^{мю} Λ_{β}^{ν} "=" η_{α β}

$\eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\;\;\alpha} \Lambda^\nu_{\;\;\beta} = \eta_{\alpha\beta}$ где

η

$\eta$ является метрикой Минковского. Тогда мы имеем, что 4-векторы и (Лоренц)-тензоры преобразуются следующим образом:

U^{' мю} "=" Λ_{ν}^{мю} U^{ν}

$U'^\mu = \Lambda^\mu_{\;\;\nu}U^\nu$ и

Ф_{мю ν}^{'} "=" Λ_{мю}^{α} Λ_{ν}^{β} Ф_{α β} "=" Λ_{мю}^{α} Ф_{α β} (Λ^{- 1})_{ν}^{β}

$F'_{\mu\nu} = \Lambda_\mu^{\;\;\alpha} \Lambda_\nu^{\;\;\beta}F_{\alpha\beta}= \Lambda_\mu^{\;\;\alpha} F_{\alpha\beta} (\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu}$ где мы использовали общепринятые обозначения

Λ_{ν}^{μ} = (Λ^{- 1})_{ν}^{μ}

$\Lambda_\nu^{\;\;\mu} = (\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\nu}$ .

Давайте тогда возьмем ваше уравнение и применим $\Lambda_\sigma^{\;\;\mu}$ в обе стороны (напомним, что это преобразование Лоренца не зависит от $\tau$ ), и попробуйте переписать все в терминах простых величин:

\begin{aligned} м Λ_{о}^{мю} \frac{г U_{мю}}{г т} & "=" е Λ_{о}^{мю} Ф_{мю ν} U^{ν} "=" е Λ_{ν}^{мю} Ф_{мю ν} η^{ν α} U_{α} \\ м \frac{г U_{о}^{'}}{г т} & "=" е Λ_{о}^{мю} Ф_{мю α} η^{ν α} ((Λ^{- 1})_{ν}^{β} Λ_{β}^{α}) U_{α} \\ м \frac{г U_{о}^{'}}{г т} & "=" е (Λ_{о}^{мю} Ф_{мю α} η^{ν α} (Λ^{- 1})_{ν}^{β}) (Λ_{β}^{α} U_{α}) \\ м \frac{г U_{о}^{'}}{г т} & "=" е (Λ_{о}^{мю} Ф_{мю α} η^{ν α} Λ_{ν}^{β}) U_{β}^{'} \\ м \frac{г U_{о}^{'}}{г т} & "=" е (Λ_{о}^{мю} Ф_{мю α} η^{ν β} Λ_{ν}^{α}) U_{β}^{'} \\ м \frac{г U_{о}^{'}}{г т} & "=" е Ф_{о ν}^{'} η^{ν β} U_{β}^{'} "=" е Ф_{о ν}^{'} U^{' ν} \end{aligned}

$\begin{align} m \Lambda_\sigma^{\;\;\mu}\frac{{\rm d}U_\mu}{{\rm d}\tau} &= e \Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\nu} U^\nu = e \Lambda_\nu^{\;\;\mu} F_{\mu\nu}\eta^{\nu\alpha} U_\alpha\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha} ((\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu} \Lambda^\alpha_{\;\;\beta}) U_\alpha\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha}(\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu}\Big) \Big(\Lambda^\alpha_{\;\;\beta} U_\alpha\Big)\\[7pt] %%%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha}\Lambda^{\;\;\beta}_\nu\Big) U'_\beta\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}\Lambda^{\;\;\alpha}_\nu\Big) U'_\beta\\ %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e F'_{\sigma\nu}\eta^{\nu\beta} U'_\beta = e F'_{\sigma\nu} U'^\nu \end{align}$

Там, где я вставил тождество во второй строке и в предпоследней, я использовал определяющее уравнение преобразования Лоренца. Итак, как вы можете видеть, уравнение функционально выглядит точно так же, как и раньше, в преобразованных (увеличенных или повернутых) величинах.

Эту «игру» всегда можно провести со сжатыми индексами, поэтому сокращения представляют ковариантные величины (полные сокращения, означающие отсутствие свободных индексов, представляют скаляры и, следовательно, инварианты).

Теперь в части 1 сложнее показать, что это корректно определенные векторы Лоренца и тензоры. Четыре скорости, возможно, проще понять, если вы понимаете, что словесная линия является геометрическим объектом, поэтому не зависит от координат и дает четко определенный касательный вектор по отношению к собственному времени, поэтому он должен преобразовываться как вектор Лоренца по построению.

Нечто подобное можно сказать и о тензоре напряженности поля. Формально это по построению антисимметричная двойная форма. Таким образом, он преобразуется как тензор вообще при любом преобразовании координат. С этой точки зрения снова преобразования Лоренца - это просто конкретное изменение координат, соответствующее метрике.

Более формальные утверждения о них можно сказать, углубившись в геометрию теории, но я полагаю, что с этой информацией вы сможете понять, о чем спрашивается, а именно то, что я написал выше, доказывает в то же время, почему $F_{\mu\nu}U^\nu$ ведет себя как 4-вектор.

Можете ли вы указать мне на что-то, что объясняет, почему определяющее свойство преобразования Лоренца $\Lambda$ является $(\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\alpha}\eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu_{\;\;\beta}=\eta_{\alpha\beta}$ ?
Кроме того, поскольку я знаком только с книгой Сасскинда и раньше не имел опыта работы с тензорами (кроме страницы в Википедии), можете ли вы подтвердить, можно ли просматривать $\eta_{\mu\nu}$ как $\mu$ -й ряд и $\nu$ -я запись столбца в матрице $\eta$ ?
Кроме того, имеет ли смысл говорить о $\eta^\mu_{\;\;_\nu}$ или $\Lambda_{\mu\nu}$ ?
Для первого комментария это связано с симметриями пространства Минковского, метрика используется для измерения расстояний и углов в многообразии, поэтому преобразование, которое не меняет метрику, в общем случае будет связано с инвариантами. Второй комментарий, короткий ответ да, но будьте осторожны при повышении и понижении индексов, ищите «гимнастику тензорной алгебры», чтобы узнать больше и попрактиковаться. Что касается последнего комментария, если вы делаете все правильно, эти «объекты» никогда не должны появляться.
Теперь, когда я ознакомился с тензорным исчислением, я думаю, что в определяющем свойстве преобразования Лоренца вы хотели написать $\Lambda^T$ и не $\Lambda^{-1}$ . Правильный?
Теперь я мог все понять! И да, это был хороший ответ, спасибо!
Да, спасибо за поправку, буду редактировать. Я могу порекомендовать книги Вайнберга, если вам нужны подробности.

ПНС · Answer 2

Вам просто нужно сначала связаться $F_{\mu\nu}$ и $U^\mu$ с индексом $\nu$ . Затем производная может быть сокращена с 4-вектором сверху, используя индекс $\mu$ . Это дает вам скейлер, инвариантный относительно преобразования Лоренца.

Извините, большой, я не понимаю, что вы подразумеваете под «производной можно свернуть с 4-вектором сверху, используя индекс $\mu$ ».
Предполагая, что вы можете привести производную вправо (кашель, кашель), вы можете получить $dU_\mu$ на дне, которое затем можно сжать по отношению к $\mu$ индекс.

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Атом

Ответы (2)

оневал

Атом

Атом

Атом

оневал

Атом

Атом

оневал

Атом

ПНС

Атом

ПНС

Ковариантная формулировка электродинамики

Какие проблемы с электромагнетизмом привели Эйнштейна к специальной теории относительности?

Векторные поля и тензоры в E&M

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Является ли время вектором в пространстве Минковского? [дубликат]

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

Почему выбор времени нарушает ковариацию?

Путаница по поводу математической природы электромагнитного тензора и полей E, B

Как магнетизм является результатом специальной теории относительности?

Почему пространственный член для контравариантного 4-градиента отрицателен, тогда как для других 4-векторов пространственная отрицательная ковариантная часть?