Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Question

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

v217

Например, преобразование четырех скоростей как

U^{а^{'}} "=" Λ^{а^{'}}_{ν} U^{ν},

$U^{a'}=\Lambda^{a'}{}_{\nu}U^{\nu},$ тензор Фарадея как

Ф^{а^{'} б^{'}} "=" Λ_{мю}^{а^{'}} Λ_{ν}^{б^{'}} Ф^{мю ν}

$F^{a'b'}=\Lambda_{\,\,\mu}^{a'}\Lambda_{\,\,\nu}^{b'}F^{\mu\nu}$ или в Matrixnotation:

Ф^{'} "=" Λ Ф Λ^{Т},

$F'=\Lambda F\Lambda^{T},$ где

Λ^{T}

$\Lambda^{T}$ является транспонированием матрицы.

Но матрица Лоренца $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ не является тензором. Делает $\Lambda$ преобразовать в любом случае, как тензор второго ранга так же, как тензор Фарадея?

Ответы (4)

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Селена Рутли · Answer 1

Действительно, чтобы добавить к ответу Ориона , определение вектора (и / или спинора) в физике (в отличие от математического определения как элемента линейного пространства над полем) чаще всего формулируется с точки зрения того, как объект касается преобразования ( например , см. мой ответ здесь ), когда выполняются «координатные преобразования»: точнее, когда человек переключается между двумя перекрывающимися диаграммами многообразия. Векторы преобразуются, как элементы касательных пространств, в многообразия. «Ковекторы» или одн-формы — это линейные функционалы от векторов. Тогда тензоры — это просто общие полилинейные функционалы от векторов и/или од-форм. Мне очень нравится язык и стиль преподавания Мизнера Торна и Уиллера "Гравитация" здесь,начало лекций Кипа Торна здесь .

Преобразование Лоренца, с другой стороны, является своего рода преобразованием координат, и, как таковое, вектор/форма/тензор должен по определению преобразовываться им предписанным образом.

Таким образом, тензоры, векторы и n-формы определяются тем , как их компоненты ведут себя в ответ на преобразования координат. Если хотите, тензоры, векторы и n-формы — это своего рода «программное обеспечение» (или «машина», если использовать формулировку Кипа Торна и Мизнера/Торна/Уилера), которое создано в соответствии со спецификацией того, как это программное обеспечение/машина должно реагировать на различные входы. В этой аналогии преобразование Лоренца является одним из входных данных для машины, рассматриваемой в спецификации.

Спасибо, но мой вопрос был мотивирован этой статьей (стр.3-4) arxiv.org/abs/1305.5210 . В этой статье автор описывает, как можно рассматривать тензор Фарадея как генератор общего преобразования Лоренца. Зная, что тензор Фарадея 2-го ранга преобразовывается как таковой, я задался вопросом, должно ли быть интересно узнать в общем, как преобразование Лоренца «преобразует Лоренца» в общем.
@user22207 user22207 Пожалуйста, включите эту ссылку и утверждение в свой вопрос, так как мы все читаем ваш вопрос и уровень совершенно неправильно без этой информации.
@ user22207 Этот вопрос был активен сегодня, поэтому я снова увидел ваш комментарий. Недавно я думал об этом с другой точки зрения. Комментарии о преобразовании Лоренца все еще остаются в силе, но для тензора Фарадея есть простая причина. он «порождает» группу Лоренца, и это потому, что он действует на 4-скорость заряженной частицы, чтобы сопоставить последнюю со скоростью ее изменения. Но четыре скорости не меняют своей нормы при этом (или любом) действии (в отличие, например, от четырехвектора импульса) - она всегда равна $c$ . Смотрите здесь

Орион · Answer 2

Это преобразование, а не тензор. Тензоры описывают физическую величину в выбранной точке пространства-времени и должны соответствующим образом преобразовываться. Но матрица Лоренца не описывает никакой физической величины в одной системе координат, это просто замена переменных между двумя системами координат. Понять это можно по аналогии с 3D вращениями. Преобразования составляются (умножаются) вместе: если вы идете от координат $a$ к $a'$ а потом из $a'$ к $a''$ , вы умножаете преобразования, чтобы получить прямое преобразование из $a$ к $a''$ .

Привет, Орион. Спасибо за ваш комментарий, он точно разъяснил, почему $\Lambda$ не является тензором.

любопытный разум · Answer 3

Преобразование Лоренца не трансформируется, поскольку это не объект, живущий на пространственно-временном многообразии, как это делают векторы и тензоры.

В общем, объекты, которые мы думаем как «векторы» или «тензоры», являются элементами тензорных степеней (ко)касательных пространств в каждой точке пространственно-временного многообразия. При любом преобразовании координат $x^\mu \mapsto y^\mu(x)$ , элемент касательного пространства преобразуется как

в^{мю} \mapsto \frac{\partial у^{мю}}{\partial {Икс}^{ν}} в^{ν}

$v^\mu \mapsto \frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu}v^\nu$

а элемент кокасательного пространства преобразуется как

в_{мю} \mapsto \frac{\partial {Икс}^{ν}}{\partial у^{мю}} в_{ν}

$v_\mu \mapsto \frac{\partial{x^\nu}}{\partial y^\mu}v_\nu$

Они распространяются по линейности на произвольные тензорные произведения (ко) касательных пространств. Теперь преобразование Лоренца — это просто преобразование координат, такое что $x \mapsto \Lambda x$ , так что производные, действующие на (ко)касательных пространствах, равны $\Lambda$ и $\Lambda^{-1}$ в каждой точке соответственно.

The $\Lambda$ не является членом какого-либо (ко)касательного пространства, не принадлежит какой-либо конкретной точке, а является производной применяемого общего преобразования координат.

Посмотрите комментарий ОП к моему ответу. Мы все отвечаем на неправильный вопрос, но на самом деле ОП еще не задал этот вопрос!
@WetSavanna: А. Это странная статья. Они сначала говорят $F$ "порождает" трафос Лоренца, который выполняется для постоянных $F$ поскольку алгебра Ли группы Лоренца представляет собой антисимметричные матрицы, но затем существенно усложнить, чтобы получить представление $SU(2) \times SU(2)$ из репутации группы Лоренца, и сделать большое дело из усложненного ЭМ-тензора. Использование препотенциала вместо обычного калибровочного потенциала мне совершенно непонятно. Я не уверен, какой именно вопрос у ОП, но эта статья очень выиграла бы от немного большего количества теории групп и немного меньшего количества слепых вычислений.
Я рад вашим комментариям - я нашел статью довольно непонятной, по крайней мере, без большого количества чтения.

автолатрия · Answer 4

Поскольку, если взять конкретный пример; для двоих $4$ -векторы $a^{\mu}, b^{\mu}$ несложно показать, что скалярное произведение

\begin{array}{rcl} а \cdot б & "=" & а_{мю} б^{мю} \\ "=" & η_{мю ν} а^{мю} б^{ν} \end{array}

$\begin{eqnarray} a \cdot b &=& a_{\mu}b^{\mu} \\ &=& \eta_{\mu \nu}a^{\mu}b^{\nu} \end{eqnarray}$ инвариантен относительно бустов. Какие преобразования оставляют скалярное произведение (и, следовательно, метрику) неизменными? Исследуйте это скалярное произведение

а^{'} \cdot б^{'} "=" (Λ_{λ}^{мю} а^{λ}) η_{мю ν} (Λ_{р}^{ν} б^{р})

$\begin{equation} a' \cdot b' = (\Lambda^{\mu}_{\lambda}a^{\lambda})\eta_{\mu \nu}(\Lambda^{\nu}_{\rho}b^{\rho}) \end{equation}$ Ясно, что это работает для всех матриц

Λ

$\Lambda$ такой, что

Λ_{λ}^{мю} Λ_{р}^{ν} η_{мю ν} "=" η_{λ р}

$\begin{equation} \Lambda^{\mu}_{\lambda}\Lambda^{\nu}_{\rho}\eta_{\mu \nu} = \eta_{\lambda \rho} \end{equation}$ Это просто

Λ^{T} η Λ

$\Lambda^{T} \eta \Lambda$ в матричной записи.

Я уверен, что Орион прав $\Lambda$ не тензор . См. любую книгу по специальной теории относительности, например, очень хорошую "Относительность, сделанную относительно легко" Эндрю Стина.
@user22207 user22207 совершенно верно, у него расплавились мозги; обновлено, чтобы отразить вашу точку зрения. Большое спасибо, А.

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

v217

Ответы (4)

Селена Рутли

v217

Селена Рутли

Селена Рутли

Орион

v217

любопытный разум

Селена Рутли

любопытный разум

Селена Рутли

автолатрия

v217

автолатрия

Является ли время вектором в пространстве Минковского? [дубликат]

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

Почему пространственный член для контравариантного 4-градиента отрицателен, тогда как для других 4-векторов пространственная отрицательная ковариантная часть?

Докажите, что производная по ковариантному 4-вектору является контравариантным векторным оператором.

Ковариантный и контравариантный 4-вектор в специальной теории относительности

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Метрический тензор в СТО

Со и контравариант: тензоры или компоненты?

Определение транспонирования преобразования Лоренца (как смешанного тензора)

Ковариантная формулировка электродинамики