Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

Question

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

ДаП

Я слышал релятивизм только в очень сжатом виде в студенческие годы. Теперь я снова посмотрел определения, и у меня возник вопрос:

Контравариантный вектор преобразуется следующим образом: $(a^\mu)'=L_{\mu\lambda}a^\lambda$ в которой $L_{\mu\lambda}$ – матрица Лоренца. Ковариантный вектор преобразуется следующим образом: $(a_\mu)'=L^{-1}_{\lambda\mu}a_\lambda=L^{T}_{\lambda\mu}a_\lambda=L_{\mu\lambda}a_\lambda$ . Означает ли это, что независимо от того, есть ли у меня ко- или контравариантный четырехвектор, я использую одну и ту же матрицу для преобразования их из одной системы координат в другую?

И один общий вопрос: зачем мне нужны ко-И контравариантные четыре вектора? Разве одного недостаточно?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Мои определения

Я думаю, что нашел решение. У нас нет общих определений четырех векторов! У меня есть такое определение:

$a^\mu=(a_1,a_2,a_3,\mathrm{i}ct)$

Нормальное определение:

$a^\mu=(a_1,a_2,a_3,ct)$

Тогда, что касается ответов, неважно, где я ставлю индексы матрицы Лоренца, не так ли? В рамках нового определения матрица Лоренца становится несимметричной.

$L=\left(\begin{array}{ccc}\cosh \theta &0&0&\mathrm{i}\sinh \theta \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ -\mathrm{i}\sinh&0&0&\cosh \theta\end{array}\right)$

Напротив, нормальная матрица Лоренца имеет вид

$L=\left(\begin{array}{ccc}\cosh \theta &0&0&\sinh \theta \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ \sinh&0&0&\cosh \theta\end{array}\right)$

Теперь мы видим, что действительно $(a_\mu)'=L^{-1}_{\lambda\mu}a_\lambda=L^{T}_{\lambda\mu}a_\lambda=L_{\mu\lambda}a_\lambda$ . Таким образом, в этом представлении преобразования ко- и контравариантных четырех векторов выполняются одной и той же матрицей. Кто-нибудь может подтвердить?

Ответы (3)

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

Сиюань Рен · Answer 1

Как указывали другие, индексы в вашем выражении неверны. Должен быть $a'^\mu=L^\mu{}_\lambda a^{\lambda}$ . Ковариантные векторы преобразуются как $a'_\mu=L_\mu{}^\lambda a_\lambda$ .
Ковариантные и контравариантные векторы двойственны друг другу. Их различие упрощает выражение внутреннего продукта.
$a^\mu=(a_1,a_2,a_3,\mathrm{i}ct)$ это то, чему учит самая элементарная теория относительности. В этом выражении нет различия ковариантных и контравариантных векторов, поэтому верхний и нижний индексы одинаковы. Матрица преобразования Лоренца является (сложной) ортогональной (не унитарной) и одинакова для обоих векторов. Эта условность упрощает жизнь, поэтому ее учат первокурсникам.
Различие между ковариантными и контравариантными векторами очень важно в общей теории относительности, поэтому, чтобы их можно было обобщить, лучше различать ковариантные и контравариантные векторы даже в специальной теории относительности.

В своей книге я только что нашел определения, которые использовал, и я не могу ясно понять, почему это должно быть неправильно и почему необходимо писать так, как вы сделали в 1.
@DaPhil: В вашей книге используется мнимое время? В этом случае, как я уже сказал, нет различия между верхними и нижними индексами.
На самом деле в книге не используется мнимое время...
@DaPhil: Тогда твоя книга неверна. Индексы должны совпадать друг с другом.
Я бы удивился, если бы это было неправильно. Это своего рода стандартный учебник по теоретической физике в Германии. Я видимо что-то не так понимаю. Не могли бы вы объяснить, в чем разница между $L^\mu_{\hphantom{\mu}\nu}$ и $L_\mu^{\hphantom{\mu}\nu}$ ? Что вы подразумеваете под индексами, которые должны совпадать? Я также не вижу соответствующих индексов в вашем ответе.
@CR Ковариантные векторы не преобразуются, как вы написали в пункте 1, потому что по этому определению $a_{\mu}a^{\mu}$ не является инвариантом.
@CR Не обращайте внимания на мой комментарий о ковариантных векторах, вы совершенно правы в отношении $ict$ форма.
@DaPhil: Может быть, в вашем учебнике используются другие обозначения? Совпадение индексов означает, что верхний $\mu$ слева должен совпадать с верхним $\mu$ справа В вашем вопросе вы пишете $(a^\mu)'=L_{\mu\lambda}a^\lambda$ , где $\mu$ слева верхняя, а справа нижняя.
@ДаФил: $L^{\mu}{}_{\nu}L_{\mu}{}^{\lambda}=L^{\mu}{}_{\nu}g_{\mu\rho}g^{\lambda\sigma}L^{\rho}{}_{\sigma}=g_{\nu\sigma}g^{\sigma\lambda}=\delta_{\nu}^{\lambda}$ , поэтому две матрицы преобразования обратны друг другу.

Нолдиг · Answer 2

Матрица Лоренца не должна превращать ковариантный вектор в контравариантный вектор, это делает только метрика. Итак, вы видите, что у вас есть различные ошибки в записи индекса. Второй признак ошибки: суммировать нужно только по одному верхнему и одному нижнему индексу! Почему? Двойственное пространство — это пространство линейных функций, которое ставит в соответствие вектору число. В большинстве случаев дуальным к двойственному пространству является само пространство, поэтому я пытаюсь сказать: только ковектор * контравектор или наоборот может дать число.

Итак, на мой взгляд, первая строка должна выглядеть так: $(a^{\mu})' = \Lambda^{\mu}_{\nu}a^{\nu}$

Второй: $(a_{\mu})' = \Lambda_{\mu}^{\nu}a_{\nu}$

Обратное преобразование - это то же усиление Лоренца с отрицательной скоростью, если вы выполняете усиление, а затем обратное, вы должны вернуться в исходную систему.

Надеюсь, это ответит на ваши вопросы.

кстати, может когда-нибудь показать мне, как я могу разделить нижний и верхний индексы, чтобы они не были друг над другом?
Для этого можно использовать \hphantom{/mu}.
или просто напишите что-то вроде \Lambda_{a}{}^{b}

Стивен Блейк · Answer 3

Помогает, если матрица написана $L^{\mu}_{\ \ \lambda}$ . Контравариантные векторы преобразуются как,

а^{' мю} "=" л_{λ}^{мю} а^{λ}

$a'^{\mu}=L^{\mu}_{\ \ \lambda}a^{\lambda}$ и ковариантные векторы преобразуются как,

а_{мю}^{'} "=" [л^{- Т}]_{мю}^{λ} а_{λ} "=" а_{λ} [л^{- 1}]_{мю}^{λ} .

$a'_{\mu}=[L^{-T}]_{\mu}^{\ \ \lambda}a_{\lambda}=a_{\lambda}[L^{-1}]^{\lambda}_{\ \ \mu} \ .$ Матрицы преобразования Лоренца покидают метрику Минковского

η_{μ λ} = d i a g [1, - 1, - 1, - 1]

$\eta_{\mu\lambda}=diag[1,-1,-1,-1]$ инвариант.

η_{мю λ}^{'} "=" [л^{- Т}]_{мю}^{р} [л^{- Т}]_{λ}^{о} η_{р о} "=" η_{мю λ}

$\eta'_{\mu\lambda}=[L^{-T}]_{\mu}^{\ \ \rho}[L^{-T}]_{\lambda}^{\ \ \sigma}\eta_{\rho\sigma}=\eta_{\mu\lambda}$ Транспонирование второй матрицы Лоренца дает

η_{мю λ} "=" [л^{- Т}]_{мю}^{р} η_{р о} [л^{- 1}]_{λ}^{о}

$\eta_{\mu\lambda}=[L^{-T}]_{\mu}^{\ \ \rho}\eta_{\rho\sigma}[L^{-1}]^{\sigma}_{\ \ \lambda}$ который

η = L^{- T} η L^{- 1}

$\eta=L^{-T}\eta L^{-1}$ в матричной форме. С

η

$\eta$ не является единичной матрицей, обратной

L^{- 1}

$L^{-1}$ не равно его транспонированному

L^{T}

$L^{T}$ и так

L^{- T} \neq L

$L^{-T}\neq L$ и, следовательно, контравариантные векторы преобразуются иначе, чем ковариантные векторы.

Причина двух видов в том, что разные физические величины преобразуются по-разному. Например, координаты $x^{\mu}$ контравариантны и импульсы $p_{\mu}$ являются ковариантными.

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

ДаП

Ответы (3)

Сиюань Рен

ДаП

Сиюань Рен

ДаП

Сиюань Рен

ДаП

Стивен Блейк

Стивен Блейк

Сиюань Рен

Сиюань Рен

Нолдиг

Нолдиг

ДаП

Джерри Ширмер

Стивен Блейк

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Является ли время вектором в пространстве Минковского? [дубликат]

Почему пространственный член для контравариантного 4-градиента отрицателен, тогда как для других 4-векторов пространственная отрицательная ковариантная часть?

Докажите, что производная по ковариантному 4-вектору является контравариантным векторным оператором.

Ковариантный и контравариантный 4-вектор в специальной теории относительности

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Метрический тензор в СТО

Со и контравариант: тензоры или компоненты?

Определение транспонирования преобразования Лоренца (как смешанного тензора)

Ковариантная формулировка электродинамики