Максимальная скорость цикла американских горок

Как оказалось, вы действительно можете использовать ту же формулу$v_{min} = \sqrt{gR}$. Однако$R$- радиус кривизны в верхней части петли, который просто равен радиусу в случае круга. См . здесь для получения дополнительной информации о нахождении кривизны эллипса.

Уравнение эллипса в полярных координатах:

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \varphi \right) \\ r\sin \left( \varphi \right) \end {array} \right]$

$r={\frac {ba}{\sqrt {{a}^{2} \left( \sin \left( \varphi \right) \right) ^{2}+{b}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2 }}}}$

где$2a$является большой осью и$2b$малая ось

Кинетическая энергия

$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$

с$\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \end{bmatrix} =\left[ \begin {array}{c} -{\frac {b{a}^{3}\sin \left( \varphi \right) \varphi p}{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}}\\ {\frac {{b }^{3}a\cos \left( \varphi \right) \varphi p}{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a}^{2} \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}}\end {array} \right]$

и$\varphi p=\dot{\varphi}$

Потенциальная энергия

$V=m\,g\,y$

мы решаем уравнение$T=V$для$\dot{\varphi}$и получить за$v_{max}=r\,\dot{\varphi}|_{(\varphi=\frac{\pi}{2})}$

$v_{max}=\sqrt{2\,b\,g}$

Для круга ($b=a=R$) с радиусом$R$мы получаем:

$v_{max}=\sqrt{2\,R\,g}$

Результат моделирования