Найти силу сопротивления на звене вращающейся цепи.

В этом ответе я предполагаю, что «перетаскивание» означает напряжение. Вас просят найти натяжение цепи при ее вращении. Это не зависит от размера звена, пока звенья не составляют значительную часть окружности.

Если у вас есть обруч плотностью массы на единицу длины$\rho$и окружность C (так что$\rho C = M$где М — полная масса), вращающегося с вращательной скоростью$\omega$, центростремительная сила на сегменте длины l равна массе, умноженной на квадрат скорости вращения, умноженной на радиус, или

$$F_c = \rho l w^2 {C\over 2\pi}$$

Если цепь находится под натяжением T, два конца отрезка втягиваются с общей силой

$${Tl\over C}$$

Уравнивая две силы, l выпадает (как и должно быть) и дает напряжение:

$$T = (\rho C) \omega^2 {C\over 2\pi} = M \omega^2 {C\over 2\pi}$$

или$\omega= 30 {1\over s}$,$M=.4 \mathrm{kg}$,$C = 1.2 m$, это примерно 68Н.

Подумайте об этом: в пределе как$m\to 0$, результирующая сила также стремится к нулю, так как$F_\text{net}=ma$и ускорение явно конечно. Так что не очень полезно вычислять силу на бесконечно малом участке цепи, поскольку вы просто получите ноль.

Если вас действительно просят найти центростремительную силу на одном звене цепи, вам придется каким-то образом задействовать размер звена. Вы можете использовать длину ссылки, или массу, или что-то еще, с чем вы можете работать, но здесь должно быть задействовано какое-то обширное свойство.

В качестве альтернативы, как указал yohBS в комментарии, вы можете рассчитать плотность силы , которая будет силой на единицу длины, на единицу массы или что-то еще. Это похоже на предположение о звене цепи единичной длины.

Мне кажется, что вся цепь просто испытывает центростремительную силу. Для данных радиуса, скорости и массы сила будет

$$F = mv^2/r$$ Это не зависит от размера или количества отдельных звеньев, пока мы можем предположить, что распределение массы сосредоточено на окружности с радиусом $r$. Теперь из установившейся ситуации у вас не может быть никакого ускорения вдоль направления вращения, так как это ускорит или замедлит цепь. Если бы вы могли мгновенно разъединить все звенья, общая сила, необходимая для удержания их на круге, равна $F$, каждый отдельный элемент требует $F/n$, с $n$количество элементов ссылки. Таким образом, нет никакого способа обойти какую-то нормализацию.

Что ж, посмотрим. Центростремительное ускорение равно$r\omega^2$, а если плотность цепи$D$кг на метр радиуса, то центростремительная сила, удерживающая небольшой отрезок цепи длиной$dr$по круговой траектории$f = Dr\omega^2dr$. Если длина цепи$l$тогда напряжение на любом радиусе$r$является интегралом$fdr$от$r$к$l$что-то вроде$D\omega^2 (l^2-r^2)/2$. Неважно, цепь это или трос.

$D = 0.4kg/1.2m$,$l = 1.2m$, и$\omega = 2 \pi 1800/60$радиан/сек.

Вы берете это оттуда.

Я не сразу увидел ответ, который легко понять, поэтому я напишу этот. Это тип инженерной проблемы, которую вы будете видеть снова и снова в инженерной школе, и ее лучше всего рассматривать в инженерных терминах.

Предположим, в вашей цепи есть два слабых звена, разнесенных на 180 градусов. Мы хотим знать, как быстро мы можем вращать колесо без разрыва цепи в этих звеньях.

Мы относимся к двум половинкам цепочки так, как если бы они были твердыми объектами. Теперь возникает вопрос: какова половина центростремительной силы между двумя половинами цепи? Конечно, эти две силы противоположны и равны. Таким образом, мы вычисляем половину центростремительной силы 180-градусной цепи.

Сила — это вектор. Цепь на месте$(r,\theta)$где$r$радиус колеса имеет центростремительную силу с величиной

$$(M\;d\theta/2\pi)\;r\;\omega^2$$ в направлении радиуса (или против него, если вам не все равно, продолжайте редактировать это), где $M$масса цепи и $\omega$скорость вращения в радианах. Записав его в виде вектора, мы имеем: $$F_\theta = \frac{Mr\omega^2\;d\theta}{2\pi}(\cos(\theta),\sin(\theta)).$$ Интеграция этого из $\theta=0$к $\theta=\pi$дает (игнорируя знаки, которые я ненавижу) общую силу: $$F_{tot} = \frac{Mr\omega^2}{2\pi} 2 = Mr\omega^2/\pi,$$ поэтому натяжение цепи равно: $$F_{tension} = \frac{Mr\omega^2}{2\pi} 2 = Mr\omega^2/(2\pi),$$

Это то же самое, что и ответ Рона Маймона, и я вижу, что его вывод правильный и простой. Я оставлю это, так как я думаю, что это более интуитивно понятно.