Путаница Кронекера дельта

С точки зрения вашего обычного матричного умножения, у вас есть для случая матрицы 4x4$M = g_{ab}$:

$M\cdot M^{-1} = I$, что то же самое, что$g_{ab} g^{bc} = \delta_{a}{}^{c}$

и

$Tr\left(M\cdot M^{-1}\right) = 4$, что то же самое, что$g_{ab}g^{ab} = \delta_{a}{}^{a} = 4$

Полезно знать, как определяется умножение матриц:

Для$n \times n$матрицы,$A$и$B$, обозначают запись в$i$ряд и$j$й столбец по$A^i_j$и$B^i_j$соответственно. Тогда для$C = AB$, записи даны

Теперь, когда у нас есть матрица, и она обратная, их умножение вместе дает единичную матрицу или, используя приведенное выше определение:

След матрицы$A$просто дается$Tr(A) = A^i_i$. В случае, когда матрица$C$является продуктом, объединяющим две формулы (для следа и матричного умножения), его след будет дан как$Tr(C) = C^i_i = A^i_kB^k_i$, что вы делаете в первом случае.