Вопрос об обозначении индекса

Скажем, мы начинаем с общего (не симметричного или антисимметричного) тензора$A_{\mu\nu}$. Примечание$A_{01} \neq A_{10}$(и аналогично для других комбинаций). Затем

$$\begin{equation} A^\mu{}_\nu = g^{\mu\rho} A_{\rho\nu} \neq g^{\mu\rho}A_{\nu\rho} = A_\nu{}^\mu \end{equation}$$ что вы могли бы увидеть, явно написав обе стороны знака не равно для определенного значения$\mu$и$\nu$(сказать$\mu=\nu=0$).

Если$A_{\mu\nu}$однако симметричен в том смысле, что$A_{\mu\nu}=A_{\nu\mu}$, затем$A^\mu{}_\nu = A_\nu{}^\mu$. В таком случае из чистой лени некоторые пишут$A^\mu_\nu$вместо одного из$A^\mu{}_\nu$или$A_\nu{}^\mu$. Однако обозначение$A^\mu_\nu$это просто сокращение и бессмысленно, если$A$не является симметричным тензором.