Массовое граничное соответствие = разница в числах Черна?

По-видимому, нет общего, но простого вывода этого факта. Однако есть некоторые работы по этому вопросу, которые используют математические методы, слишком продвинутые для меня. Работы, которые я нашел,

• Соответствие объемного ребра для топологических фаз Черна: точка зрения из обобщенной теоремы об индексе. Т. Фукуи, К. Сиодзаки, Т. Фудзивара, С. Фудзимото. Дж. Физ. соц. Япония. 81 114602, (2012) ; arXiv:1206.4410 .

• Краевые состояния и объемно-граничное соответствие в гамильтонианах Дирака. Роджер С.К. Монг, Васудха Шивамогги. физ. Rev. B 83 , 125109 (2011) ; ссылка на arXiv

Я также нашел несколько конспектов лекций по этой теме, в которых также содержится более подробная справочная информация по адресу arXiv:1501.02874 . Может быть, это помогает кому-то.

Есть статья Фидковского, Джексона и Клиха. У них самое простое описание, которое я пока нашел. Идея состоит в том, что независимо от модели вы можете сформировать версию со сглаженным спектром.

где$P$проецируется на заполненные состояния. Затем можно добавить ребро, сформировав гамильтониан

где$V$функция граничного профиля, которая$-1$для$x < - \Delta$,$+1$для$x > \Delta$, и$X/\Delta$в некоторой ширине$\Delta$. Таким образом, для$x \ll 0$это$H$и для$x \gg 0$это тривиальный гамильтониан$1$.

Дело, связывающее все это с числом Черна, состоит в том, что

является связностью Берри, поэтому голономия Берри (в направлении, перпендикулярном границе) вносит сдвиг в спектр при наличии границы.

В частности, в 2d при движении вокруг зоны Бриллюэна в параллельном направлении ветры голономии$n$раз, где$n$— число Черна. Легко показать, что спектр этой простой системы равен$m + nk_{||}/2\pi$где$m \in \mathbb{Z}$и$k_{||} \in [0,2\pi)$. Таким образом, при любом значении химического потенциала полосы пересекают нулевую энергию$n$раз в том же направлении, то есть есть$n$режимы с хиральными$k_{||}$. Их можно отождествить с краевыми модами, потому что исходный$H$имеет целочисленный спектр.

ПРИМЕЧАНИЕ. Я не знаю, показал ли кто-нибудь, что можно непрерывно подключать режимы, в которых доменная стена выглядит как ступенчатая функция (а профиль граничной моды похож на$e^{-x}$) туда, где доменная стенка представляет собой линейный профиль (а краевая мода похожа на$e^{-x^2}$). Если бы кто-то сделал это строго, я был бы очень рад взглянуть на это.

Эта статья о математической основе соответствия объемных границ может быть хорошим справочником:

Эмиль Продан, Герман Шульц-Бальдес. Объемные и граничные инварианты для сложных топологических изоляторов: от K-теории к физике . https://arxiv.org/abs/1510.08744

Я бы сформулировал аргумент следующим образом:

1. Возьмем насос Таулесса, который адиабатически перекачивает заряд на 1 отрицательное энергетическое состояние на 1 элементарную ячейку вправо за цикл. Таким образом, число Черна цикла насоса равно 1.

2. Из-за унитарности чистый результат одного цикла должен быть: 2A) 1 состояние с отрицательной энергией должно быть преобразовано в состояние с положительной энергией на правом конце 2B) 1 состояние с положительной энергией должно быть преобразовано в состояние с отрицательной энергией на левом конце 2C ) 1 положительное энергетическое состояние должно быть перекачано на 1 элементарную ячейку влево.

3. Теперь продвиньте время «t» к импульсу «ky». Таким образом, вы получаете двумерную систему, бесконечную вдоль y, но конечную вдоль x, с левым и правым краем. Из 2А) вы обнаружите, что в объемном зазоре есть 1 краевое состояние на правом краю, движущемся вверх (точнее, на одно движение вверх больше, чем движение вниз). Из 2В) вы найдете граничное состояние на левом краю, вниз.

Это объемно-граничное соответствие (для простоты я использовал число Черна 1, но оно справедливо для любого числа Черна).

Мы пытаемся изложить это в наших конспектах лекций: https://arxiv.org/abs/1509.02295