Топологические изоляторы. Поверхностные состояния имеют фазу?

Важно отметить, что фаза Берри — это фаза, которую захватывает волновая функция после прохождения цикла в пространстве параметров. Лучший способ вычислить фазу Берри, по крайней мере в этом случае, — вычислить волновую функцию Блоха и посмотреть, как она изменится после одного полного цикла в$\mathbf{k}$-космос. Блоховский гамильтониан для поверхности топологического изолятора имеет вид

$$H_{{\rm surf}}(\mathbf{k})=v_{F}\left(\sigma^{x}k_{y}-\sigma^{y}k_{x}\right)$$ где $\sigma_x$и $\sigma_y$— матрицы Паули в спиновом пространстве. Если вы диагонализируете этот гамильтониан, вы (очевидно) получите конус Дирака; другими словами, вы будете вычислять собственные значения и собственные векторы. Поскольку этот гамильтониан Блоха является 2 $\times$2, собственные состояния Блоха в общем случае могут быть записаны в спинорной форме $$\psi_{\pm}(\mathbf{k}) \propto \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} e^{i\theta_{\mathbf{k}}/2}\\ \pm e^{-i\theta_{\mathbf{k}}/2} \end{array}\right)$$ где $$\tan(\theta_{\mathbf{k}})=\frac{k_{y}}{k_{x}}$$ Легко видеть, что при обходе круга в зоне Бриллюэна, т. е. после установки $\theta_{\mathbf{k}}\rightarrow\theta_{\mathbf{k}}+2\pi$, вы получаете дополнительную фазу $\pi$. Это происходит потому, что есть $\theta_{\mathbf{k}}/2$членов в обеих спинорных компонентах. Вы могли бы думать об этом, по-настоящему запутанно , как о $\theta_{\mathbf{k}}$в экспоненте, разделенной между двумя спинорными компонентами. С другой стороны, если бы у вас было уравнение Шредингера, у вас были бы простые скалярные волновые функции вместо спиноров. Другой (гораздо более причудливый) способ выразить это так: блоховский гамильтониан будет диагональным в спиновом пространстве в отсутствие блокировки спин-импульса.

Одно примечание: даже у графена есть$\pi$Ягодная фаза; хотя происхождение его очень разное. Для всех практических целей люди пишут, что блоховский гамильтониан графена диагональен в спиновом пространстве; это потому, что у графена очень плохая спин-орбитальная связь. Однако гамильтониан Блоха имеет недиагональные члены в пространстве подрешеток . В результате мы по-прежнему можем записать блоховские волновые функции как спиноры и получить$\pi$Ягодная фаза.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос: да, мы можем как бы догадаться о существовании$\pi$Берри, глядя на намотку вращения вокруг конуса Дирака. Приведенная выше математика может подтвердить наше предположение. Мы можем сказать: поскольку спин вращается на$2\pi$спинор должен подобрать$\pi$. Возможно, люди не вычисляют это явно (как я сделал выше) из-за своей интуиции по графену.