Как топологический инвариант Z2Z2Z_2 связан с числом Черна? (например, для топологического изолятора)

Ответ Дэвида Осена правильный, но позвольте мне добавить несколько комментариев, которые связаны с вашим вопросом об отношении между$\mathbb Z_2$инвариант$\nu$и первый номер Черна$C_1$.

Такое отношение не существует, если только вам не требуется некоторая дополнительная симметрия, помимо общих симметрий, обычно требуемых при классификации топологических изоляторов (например, в данном случае инвариантность к обращению времени). Предположим, что гамильтониан инвариантен относительно вращения спина вдоль$z$-ось (так$U(1)$подгруппа$SU(2)$в левом инварианте), то гамильтониан можно блочно-диагонализировать как

$H = \begin{pmatrix} H_\uparrow & \\ & H_\downarrow \end{pmatrix},$

где индексы относятся к степеням свободы со спином вверх и вниз. Из-за симметрии обращения времени мы имеем, что$H_\downarrow(k) = H^*_\uparrow(-k)$. Теперь система состоит из двух копий квантовых эффектов Холла с встречно распространяющимися краевыми состояниями противоположного спина. Как говорит Дэвис Аасен, число черна равно нулю$C_1 = C_1^\uparrow + C_1^\downarrow = 0$. Разница однако, «спиновое число Черна»,$C_1^\uparrow - C_1^\downarrow = 2C_{spin}$может быть ненулевым и вычисляться по числам Черна секторов спина вверх/вниз. Так долго как$S_z$сохраняется спиновое число Черна может быть любым целым числом$C_{spin}\in\mathbb Z$.

Но если мы добавим недиагональные элементы и тем самым нарушим симметрию вращения вдоль$z$, инвариант распадается на$\nu = C_{spin}\,\text{mod}\,2\in\mathbb Z_2$(как показали Кейн и Меле). Таким образом, топологические тривиальные/нетривиальные фазы характеризуются четными и нечетными числами спина Черна$C_{spin}$, а не исходное число Черна$C_1$. Однако это имеет смысл только тогда, когда у вас есть эта дополнительная симметрия.

Для гамильтониана, инвариантного к обращению времени (например, в$\mathbb{Z}_2$топологический изолятор) число Черна всегда равно нулю.

Топологический инвариант$\nu = 0,1$классифицирует изолятор как тривиальный или топологический. Это можно найти, подсчитав, сколько раз поверхностные энергетические зоны пересекаются с модом энергии Ферми 2, как вы упомянули выше.

Для справки см. RMP Хасана и Кейна, http://rmp.aps.org/pdf/RMP/v82/i4/p3045_1 Разделы II.B.1 и II.C.

Я надеюсь, что это было полезно. Я тоже пытаюсь изучать эти темы.

Я хотел бы внести некоторый смысл в дополнение к уже данным ответам, так как я не полностью согласен с ними.

Спиновая проводимость имеет смысл только тогда, когда спин сохраняется, и в этом случае$\mathbb{Z}_2$инвариант действительно распадается на четность числа Черна одного спинового сектора.

Однако гениальность Кейна и Меле (и Фу) заключается в том, что они обнаружили, что этот инвариант имеет смысл даже в том случае, когда спин не сохраняется , и в этом случае нет связи с проводимостью или каким-либо числом Черна , и они вывели для него формулу который по существу измеряет топологическую тривиальность или нетривиальность комплексных векторных расслоений с нечетными (возводимыми в квадрат к$-1$) симметрия обращения времени. Эти векторные расслоения действительно всегда имеют нулевое число Черна (см. мой ответ здесь, который демонстрирует это ).

Эта топологическая тривиальность или нетривиальность для таких векторных расслоений со специальной структурой обращения времени была известна алгебраическим топологам еще с конца 60-х годов (но Кейн и Меле изобрели это независимо). Позже стало понятно (как и в случае с самим числом Черна), что понятие числа Черна сохраняется даже без трансляционной инвариантности, и можно заменить формулы, требующие зоны Бриллюэна и квазиимпульса, гораздо более простыми формулами в реальном пространстве. Чтобы узнать об этих формулах, см., например, красивую статью Кацуры и Кома от 2016 года (но на самом деле заслуга в этом должна быть отнесена к более ранней статье Шульца-Балдеса от 2013 года).

Если$P$- проекция Ферми и$U(x) = \exp(\arg(x_1+i x_2))$(оператор реализует вставку потока в начале координат), тогда инвариант Z_2 равен