Какой набор минимальных предположений необходим для интерпретации общей теории относительности?

В следующем семестре я собираюсь читать лекции по (математике) общей теории относительности, и я все еще напряженно думаю, как организовать и, что еще более важно, как мотивировать все это.

Мне интересно, какие минимальные предположения я должен сделать об объектах и ​​их отношениях, чтобы иметь возможность интерпретировать формулы и их отношение к классической ньютоновской физике. Я должен объяснить дальше:

Я думаю, что предположение о том, что пространство-время моделируется четырехмерным дифференцируемым многообразием M, правильное и легко мотивированное. Я также не против предположить, что у нас есть аффинная связь на многообразии, потому что ее можно измерить, перемещая (квантовую) частицу со спином по замкнутому контуру и сравнивая направление вращения (и относительное положение/фазу кручения) до и после движения. через петлю.

Тогда мы можем считать, что голономия аффинной связности лежит внутри группы Пуанкаре (поскольку мы не измеряем никакой другой голономии). Используя это, мы можем параллельно перенести выбранную метрику Лоренца в одном касательном пространстве в каждое другое касательное пространство, так что мы получим многообразие Лоренца. (Обычно тексты по ОТО начинаются с лоренцевского многообразия, но не объясняют, откуда должны браться измерения длин и углов — стержень сам по себе сложный физический объект).

Теперь, имея такое многообразие, мы можем записать риманову кривизну и тензор кручения. Для простоты предположим, что кручение на данный момент исчезает. Учитывая риманову кривизну, мы можем сжать ее и записать тензор Эйнштейна G. Теперь уравнения поля Эйнштейна можно сформулировать в виде определения: «Тензор Эйнштейна G является тензором энергии-импульса», то есть G говорит нам, где мы измеряем иметь значение.

Математически это прекрасно (и на самом деле не имеет смысла). Однако с точки зрения физики мы хотим иметь возможность интерпретировать определяемую таким образом материю (или, если быть более точным, тензор энергии-импульса) как то, что обычно считается материей (или плотностью массы, или давлением, или напряжением). Какие еще входные данные мне нужны для достижения этого?

Должен ли я добавить уравнение геодезической для свободно падающих пробных частиц, например, или это уже следует из моих определений (то есть уравнений поля) выше (конечно, нужно связать пробную частицу с термином материи) ?

Мне известна геометрическая интерпретация уравнения поля Эйнштейна, которая связывает след тензора энергии-импульса со второй производной изменения объема шара из свободно падающих пробных частиц. Чтобы использовать это, нужно сначала знать уравнения движения для свободно падающих пробных частиц. Далее приходится сравнивать с изменением объема в ньютоновском пределе. Но как тогда мы получим зависящие от давления части следа тензора энергии-импульса, потому что ньютоновская гравитация зависит только от массы (00-часть)?

Вы действительно хотите использовать спин квантовой частицы для демонстрации аффинной связи в ОТО? Не испортят ли объяснение дискретные измерения компонентов спина (и некоммутативность различных компонентов)?
@ twistor59: вы можете использовать ожидаемые значения, а не дискретные экспериментальные значения, и все равно все будет в порядке (но тогда я не вижу преимущества в том, чтобы говорить «квант», кроме того, что вы не теряете общности)
О геодезических для тестовых частиц см. Ehlers and Geroch, arxiv.org/abs/gr-qc/0309074v1 . Возможно, вы захотите рассмотреть возможность более физического подхода. Например, я предполагаю, что некоторое подмножество ваших математических предположений составляет принцип эквивалентности, но какое подмножество? Для измерения достаточно иметь часы и пробные частицы; для некоторых хороших элементарных презентаций этого см. Laurent, Introduction to spacetime или Geroch, General Relativity from A to B.
@BenCrowell: разве одна из версий принципа эквивалентности не может быть сформулирована просто как «пробные частицы следуют геодезическим полуримановым многообразиям»?
Кроме того, я не понимаю, что можно «добавить» о геодезических уравнениях с учетом метрики и связи (хотя обратите внимание, что тестовые частицы НЕ следуют геодезическим, если кручение не равно нулю). Все это уже есть в этих двух вещах.
@twistor59: Чтобы иметь возможность измерить аффинную связь, я думаю, мне нужна хотя бы какая-то физика, основанная на векторах и точках моего пространственно-временного многообразия. Элементарные частицы (даже если считать их классическими объектами, но размером с точку) — это то, что у нас есть. Просто механика не говорит мне о параллельном переносе векторов (лучшее, на что я мог надеяться на стержень, который не опирается на негравитационные силы, это то, что оба его конца движутся по геодезическим, и это не даст мне торсионной части стержня). связь).
@JerrySchirmer: Извините, если я был слишком небрежен в уравнении движения пробных частиц в пространстве-времени с кручением. Конкретный тип уравнения имеет меньшее значение — важнее то, должен ли я мотивировать его в первую очередь или могу ли я его вывести. (Кроме этого, мне нужно немного больше думать о мировых линиях частиц в пространстве-времени с кручением; возможно, они являются проекциями геодезических на связанное SO(1, 3)-принципное расслоение (в смысле геометрии Картана).
@JerrySchirmer: Вы можете использовать принцип эквивалентности во множестве разных вариантов. Сильный, слабый... См. arxiv.org/abs/0707.2748 .
@BenCrowell: ну да. Поэтому выше я сказал «одна из версий». Большинство из них удовлетворяются описанием гравитации с использованием метрической кривизны.
+1 для справки: см. arxiv.org/abs/0707.2748.

Ответы (1)

Я знаю, что это не совсем "минимальный" набор предположений, который можно добавить, но если вы собираетесь интерпретировать г а б "=" 8 π г Т а б как имеющий какое-то отношение к «обычной материи», вы должны начать с лагранжевой формулировки, где у вас есть:

С "=" ∫ | г | д 4 Икс 1 16 π г р + 2 Λ + л М

где л М представляет собой лагранжеву плотность обычного вещества. Затем вариационное исчисление дает вам уравнение Эйнштейна и интерпретацию «обычного вещества» Т а б тривиально.

Что касается сравнения с ньютоновским пределом, то единственный реальный способ сделать это — обожаемый и вызывающий ужас постньютоновский формализм, где вы расширяете релятивистские поправки к законам Ньютона, как показано в этой статье в дополнение к любому учебнику по ОТО . Это быстро становится очень уродливым, поскольку вы начинаете получать такие эффекты, как самосила, проявляющаяся в терминах, которые имеют такие факторы, как 567849 98478433 , но люди, изучающие гравитационные волны, используют эти методы довольно регулярно.

И я должен добавить, что в (старой) книге Вайнберга есть очень физически мотивированное обсуждение PPN, где он тщательно показывает, что означают параметры, и сравнивает ОТО с ньютоновской теорией.
Я также думал об использовании подхода Эйлера-Лагранжа к ОТО (который бесплатно дает понятия количества движения, тока и т. д.), но этот подход основан не столько на физической интерпретации, сколько на математике, не так ли? Я думаю, что есть и философская разница: когда мы определяем энергию-импульс материи просто как тензор Эйнштейна (с точностью до констант), уравнения поля просто становятся определением (как можно сделать гравитационный потенциал в ньютоновской физике основным объекта и определить плотность массы как его лапласиан) и вопрос не в том, как их решить, а в том, чтобы...
... найти дальнейшие физические теории, интерпретирующие полученный тензор энергии-импульса. В обычном лагранжевом подходе мы получаем уравнение, уравнение ЭЛ, которое нам нужно решить (и мы должны были с самого начала ввести в уравнение правильный материальный лагранжиан). (Ну, может быть, разница меньше, чем я думал... В лагранжевой формулировке мы можем просто взять лагранжиан материи как неопределенное, что даст не уравнение для решения, а инструкции, как этот материальный член должен будет решаться. искать заданную аффинную связь.)
@Marc: в реальной теории лагранжиан материи будет реальной вещью, определенной так же, как и где-либо еще. Совершенно здорово изучать, например, уравнение Эйнштейна-Клейна-Гордона, устанавливая л М "=" ∇ а ф ∇ а ф − м 2 ф 2
И в этом случае материи придется удовлетворять собственное уравнение движения. Вы просто не можете записать это, не уточнив содержание вопроса.
Тщательно изучив его, я согласен с тем, что лагранжев подход, вероятно, лучший; Я также принял ваш ответ. PS: Знаете ли вы хорошую ссылку на термин лагранжевой материи для идеальной жидкости?
Какой набор минимальных предположений необходим для интерпретации общей теории относительности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v