Метрика для описания расширяющегося пространства-времени по координатам, отражающим точку зрения местного наблюдателя.

(Опоздание на два с половиной года — думаю, это провалилось.)

Нет, вы не можете этого сделать , за исключением особых случаев. И модель FLRW нашей реальной Вселенной не является одним из таких особых случаев.

Короткое доказательство: ваша вторая метрика имеет времяподобный вектор Киллинга, тогда как FLRW обычно этого не делает.

Объяснить:

Существуют скалярные величины, инвариантные относительно любого преобразования координат пространства-времени. Одна из этих величин есть$\rho c^2 - 3p$, где$\rho$- локальная массовая плотность и$p$локальное давление (если давление изотропное, в противном случае заменить$3p$с суммой трех главных давлений).

Теперь в обычной модели FLRW нашей Вселенной этот скаляр уменьшается с течением времени по мере разбавления материи (обычной и темной). Вы можете задаться вопросом, есть ли система отсчета там, где ее нет. Что ж, мы можем выделить подпространства, над которыми этот скаляр постоянен. Но оказывается, они космоподобны. (Фактически это характеризует «сопутствующее время».) Не может быть времяподобного наблюдателя, который видел бы этот скаляр постоянным.

Предлагаемый вами преобразованный показатель не зависит от$t$. Это означает, что наблюдатель$(t,0,0,0)$видит скаляр, о котором я упоминал, как константу. Итак, мы знаем, что это не может быть преобразованием координат обычной модели FLRW нашей вселенной.

---

Для простоты вы рассмотрели только плоский случай исходной метрики FLRW, и предложенная вами преобразованная метрика также является плоской. Но «плоскостность» не является инвариантом. (Скаляр кривизны пространства является инвариантным относительно преобразований пространственных координат; кривизна пространства-времени инвариантна относительно преобразований пространства-времени ; но кривизна пространства вообще не является инвариантной относительно преобразований пространства-времени .) Этот момент имеет отношение к упомянутым мной частным случаям. .

Обычная модель FLRW нашей Вселенной на самом деле сходится к одному особому случаю, называемому пространством де Ситтера . В далеком будущем космологическая постоянная преобладает над всем, и (плоское) пространство становится экспоненциально расширяющимся:

$$d\tau^2 = dt^2 - c^{-2}e^{2ct/r_0} [ dr^2 + r^2d\Omega^2 ]$$

Я написал пространство в полярных координатах,$d\Omega^2$— некоторая метрика поверхности сферы.

Пространство де Ситтера имеет хорошо известную статическую систему отсчета.$(t^\star,r_c,\Omega)$:

$$d\tau^2 = (1 - \frac{r_c^2}{r_0^2})d{t^\star}^2 - c^{-2}(1 - \frac{r_c^2}{r_0^2})^{-1}d{r_c}^2 - c^{-2}r_c^2d\Omega^2$$

что похоже на метрику черной дыры, только вывернутое наизнанку. Экспоненциально расширяющееся плоское пространство превратилось в статичное искривленное пространство!

Или, моя любимая, но менее известная статическая система отсчета$(t^\star,r^\star,\Omega)$:

$$d\tau^2 = (\cosh\frac{r^\star}{r_0})^{-2} [ d{t^\star}^2 - c^{-2}d{r^\star}^2 - c^{-2}r_0^2(\sinh\frac{r^\star}{r_0})^2d\Omega^2 ]$$

Часть в квадратных скобках - стандартная метрика для статического гиперболического пространства с радиусом кривизны$r_0$; общая метрика масштабирует это с помощью конформного фактора (который не зависит от времени и равен 1 при$r^\star=0$).

Кстати, нынешняя оценка конечного$r_0$для нашей Вселенной около десяти миллиардов световых лет.

---

Вы можете преобразовать любую метрику FLRW в

$$d\tau^2 = A^2 [ d{t^\star}^2 - c^{-2}d{r^\star}^2 - c^{-2} B^2 d\Omega^2 ]$$

такой, что$A=1$когда$r^\star=0$, и такое, что

$$\lim_{r^\star \to 0} \frac{B}{r^\star} = 1$$

Как правило, факторы$A$и$B$будет зависеть от обоих$t^\star$и$r^\star$.

Они называются радиолокационными координатами , потому что радиальная исходящая и входящая скорости света постоянны.$c$, а для наблюдателя с постоянным$r^\star=0$, координата времени – собственное время. Это означает, что события в$(t^\star,r^\star,\Omega)$являются пересечением прошлого и будущего светового конуса опорного наблюдателя в моменты времени$t^\star \pm \frac{r^\star}{c}$. В этом смысле можно сказать, что это «согласуется с точкой зрения наблюдателя, находящегося в пространстве».

---

Кстати, единственный известный мне частный случай — это линейно расширяющееся гиперболическое пространство. Это называется космологией Милна . Радарные координаты для этого статичны и плоские — метрика Минковского!