Мнимый потенциал и стационарная волновая функция

Если внешний потенциал$V$в зависящем от времени уравнении Шрёдингера не зависит от времени, то мы можем разделить волновую функцию на пространственную и временную части.

$$\Psi(x,t)=\psi(x) \theta(t)$$

$\psi(x)$является решением известного стационарного уравнения Шрёдингера, а$\theta(t) = e^{-Et/\hbar}$. Тогда плотность вероятности не зависит от времени или стационарна:

$$\rho=|\Psi(x,t)|^{2} = |\psi(x)|^{2}$$

Таким образом,$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau =0$.

Однако введем мнимый потенциал$V(\vec{x})=V_{1}(\vec{x})+i V_{2}(\vec{x})$, где$V_{1}$и$V_{2}$являются реальной функцией.

Тогда зависящее от времени уравнение Шредингера имеет вид

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{x},t)= -\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} \Psi(\vec{x},t)+ \left\{V_{1}(\vec{x})+i V_{2}(\vec{x}) \right\}\Psi(x,t)$$

Давайте посчитаем$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau$сначала.

$$\begin{align*} \frac{d}{dt} \int \rho d \tau &= \frac{d}{dt} \int \Psi^{\ast}\Psi d \tau = \int \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{\ast} \Psi)d \tau \\ &=\int \left (\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t} \Psi + \Psi \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{\ast} \right)d \tau\\ &= \int \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left(\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t}\Psi \right) d \tau \end{align*}$$

Из данного уравнения Шредингера

$$\frac{1}{2} \mathrm{Re} \left(\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t} \Psi \right) =\frac{V_{2}(\vec{x})}{2 \hbar} \Psi^{\ast}\Psi$$

Таким образом,

$$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau = \frac{V_{2}(\vec{x})}{2 \hbar} \neq 0$$

$V_{2}$обычно не равно нулю, что означает, что плотность не является стационарной.

Это нарушило бы утверждение о стационарности волновой функции, если внешний потенциал не зависит от времени.

Нет проблем, если потенциал реален, но я предполагаю, что воображаемый потенциал имеет своего рода физический смысл. Как я могу думать об этом?