Связь между пропагатором и вероятностью для бесконечной ямы

Это может быть простой вопрос, но я действительно смущен этим.

Для бесконечной квадратной ямы (зависящие от времени) собственные функции энергии (внутри ямы):

ψ н ( Икс , т ) "=" 2 / л е − я Е н т / ℏ с я н ( н π л Икс )

с Е н "=" н 2 π 2 2 м л 2 ℏ 2 собственные значения энергии и л , ширина скважины. Значит, вероятность найти частицу с энергией Е м между Икс "=" а и Икс "=" б вовремя т определяется правилом Борна:

п ( а , б ; т ) "=" ∫ а б ψ м ( Икс ) * ψ м ( Икс ) г Икс

Эту вероятность можно понимать как вероятность того, что частица будет найдена между а и б когда-нибудь и каждый | ψ м ( Икс ) * ψ м ( Икс ) | 2 есть квадрат вероятности .

С другой стороны, пропагатор — это амплитуда движения частицы. а → б во время т а → т б :

п р о п а г а т о р "=" ⟨ Икс б , т б | Икс а , т а ⟩ "=" ⟨ Икс б , т б | ( ∑ м | м ⟩ ⟨ м | ) | Икс а , т а ⟩ "=" ∑ м ψ м ( Икс б , т б ) * ψ м ( Икс а , т а ) "=" ∑ м е я Е м ( т б − т а ) / ℏ ψ м ( Икс б ) * ψ м ( Икс а )

Итак, мой вопрос: если пропагатор является амплитудой, то возведение его в квадрат должно дать вероятность. Однако возведение в квадрат уравнения (3):

п а → б "=" | ⟨ Икс б , т б | Икс а , т а ⟩ | 2 "=" | ∑ м е я Е м ( т б − т а ) / ℏ ψ м ( Икс б ) * ψ м ( Икс а ) | 2

что, очевидно, не является вероятностью, поскольку такой член, как | ψ м ( Икс ) * ψ м ( Икс ) | 2 фактически является квадратом вероятности . Тогда как я могу получить вероятность от распространителя?

Ответы (2)

что, очевидно, не является вероятностью, поскольку такой член, как | ψ м ( Икс ) * ψ м ( Икс ) | 2 на самом деле является квадратом вероятности. Тогда как я могу получить вероятность от распространителя?

Верно, но только один из ваших x является переменной и влияет на амплитуду вероятности. Вспомните, что ваше начальное состояние | Икс 0 , т 0 ⟩ , поэтому, если мы хотим расширить собственные состояния, мы пишем (позвольте мне взять т 0 "=" 0 )

| Ψ ( Икс 0 , 0 ) ⟩ "=" | Икс 0 , т 0 ⟩ "=" ∑ м | м ⟩ ⟨ м | Икс 0 , т 0 ⟩

Мы можем аналогичным образом расширить конечное состояние в собственных состояниях

| Ψ ( Икс , т ) ⟩ "=" | Икс , т ⟩ "=" ∑ н е я Е н т | н ⟩ ⟨ н | Икс , т ⟩

так что, если мы возьмем перекрытие, суммы рухнут к единице

⟨ Икс , т | Икс 0 , т 0 ⟩ "=" ∑ м е я Е м т / ℏ ⟨ Икс , т | м ⟩ ⟨ м | Икс 0 , т 0 ⟩ "=" ⟨ Икс , т | ∑ м е я Е м т / ℏ | м ⟩ ⟨ м | Икс 0 , т 0 ⟩

Дело в том, что «лишние» члены не являются частью вашей плотности, они постоянны по отношению к конечной позиции.

Кроме того, будьте осторожны. Это не даст вероятности. Что даст вероятность

п ( а ≤ Икс ≤ б ) "=" ∫ а б | ⟨ Икс , т | Икс 0 , т 0 ⟩ | 2 г Икс

Я думаю, что ОП спрашивал о «дополнительных» терминах в пространственном смысле. В частности, поскольку ψ м ( Икс ) * ψ м ( Икс 0 ) уже имеет размерность плотности вероятности (независимо от того, Икс 0 является константой или нет), его квадрат модуля имел бы неприятные размеры, чтобы он был плотностью вероятности. Извиняюсь, если я неправильно понял либо ОП, либо вас.
Большое спасибо за отличный ответ. Все яснее, но Двидж Манкад только что указал на размерную проблему. Вы знаете, как это исправить?
Я думаю, что, поскольку конечное и начальное состояния являются собственными состояниями положения, это отбрасывает размеры. Я думаю, что это может немного помочь physics.stackexchange.com/questions/185962/…
Я не вижу это так ясно. Как написано в каком-то ответе на процитированный вами вопрос, если ∫ | Икс ⟩ ⟨ Икс | г Икс "=" 1 , то нам нужны размеры | Икс ⟩ быть 1 / л . Итак, опять же, я думаю, что любой бюстгальтер, как ⟨ Икс б , т б | Икс а , т а ⟩ будет иметь размерность 1/л. Если так, то ∫ а б | ⟨ Икс б , т б | Икс а , т а ⟩ | 2 г Икс не является вероятностью.
@AliEsquembreKucukalic одна вещь, которая постоянно приходит мне в голову, это то, что на самом деле это должен быть двойной интеграл, но я не совсем уверен, как это оправдать ..
@InertialObserver Нет, не должно быть. Потому что собственные состояния оператора положения ненормализуемы.
@DvijMankad я согласен

Ваши расчеты совершенно правильны, так что я непосредственно отвечу на основной вопрос, который вы поднимаете. В частности, почему размерность ⟨ Икс б , т б | Икс а , т а ⟩ не так, чтобы его квадрат модуля имел размерность линейной плотности вероятности, т. е. л − 1 . Вопрос не чувствителен к картинке, которую мы используем, поэтому я буду использовать картину Шредингера.

Причина в том, что в непрерывном пространстве собственные состояния положения не нормализуемы и нормализуются по Дираку. Собственные состояния положения нормированы как ⟨ Икс | у ⟩ "=" дельта ( Икс − у ) . Более явно, если состояние локализовано в позиции Икс 0 , его волновая функция, по определению, есть ψ ( Икс ) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩ "=" ⟨ Икс | Икс 0 ⟩ "=" дельта ( Икс − Икс 0 ) . Таким образом, размерность самой волновой функции соответствует обычной линейной плотности вероятности. Это не несоответствие именно потому, что такая волновая функция была признана ненормируемой и определена как нормированная по Дираку волновая функция.

Конечно, обычная нормализация и нормализация по Дираку — это не одно и то же, и их не следует рассматривать как две разные разновидности одного и того же по существу. Тот факт, что собственные состояния положения являются нормализованными по Дираку, накладывает отпечаток (и является существенным) на их связь с обычными нормируемыми состояниями. Обычное нормализуемое состояние, когда оно выражается как линейная комбинация других таких состояний, линейная комбинация принимает форму суммирования. Принимая во внимание, что когда обычное нормализуемое состояние выражается как линейная комбинация собственных состояний положения, линейная комбинация принимает форму интегрирования. Здесь мера интегрирования неизменно имеет собственную размерность, и размерность собственных состояний положения становится существенной для того, чтобы сделать размерность линейной комбинации такой же, как размерность обычного нормализуемого состояния. Обратите внимание, что все это дело развалилось бы, если бы собственные состояния позиции не были нормализованы по Дираку, потому что, поскольку полный набор собственных состояний позиции непрерывен, общее нормализуемое состояние должно быть выражено как интегрирование различных собственных состояний позиции. (а не как обычное их суммирование) и, таким образом, размерность меры интегрирования сделала бы уравнения несовместимыми без «необычной» размерности собственных состояний положения (которой они обязаны своей дираковской нормализации).

Наконец, прямая вероятностная интерпретация ненормируемого состояния как таковая запрещена. Тем не менее, они важны, поскольку нормализуемые состояния могут быть представлены как линейная комбинация таких ненормализуемых состояний. См.: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/MIT8_05F13_Chap_01.pdf (Раздел 2 ). Часто можно изобретать определенные хитроумные способы осмысления вероятностных интерпретаций ненормализуемых состояний — часто рассматривая ненормализуемое состояние как предел нормализуемого состояния. Например, дельту Дирака можно рассматривать как предел гауссианы. Точно так же такие ненормируемые собственные состояния импульса часто рассматриваются как предел нормализуемого дискретного набора собственных состояний импульса на решетке и т. Д.

Отличный ответ. Однако, если ненормируемые состояния нельзя понять напрямую с вероятностью, то. почему интеграл по путям Фейнмана работает? Интегральное уравнение Фейнмана дает пропагатор, который (может быть, здесь моя ошибка), поскольку это амплитуда, следует понимать как вероятность в квадрате.
@AliEsquembreKucukalic Да, распространитель технически представляет собой амплитуду вероятности. Точно так же, как базисная волновая функция ненормируемого состояния. Но физически пропагатор больше похож на функцию Грина. При интегрировании в качестве «ядра» вместе с физическим начальным состоянием (т. е. нормализуемым начальным состоянием) это дало бы физическую амплитуду вероятности нахождения частицы в определенном положении — или, что то же самое, развивающуюся во времени физическую волну — функция.
Даже если это так, поскольку ядро К ( Икс б , т б ; Икс а , т а ) "=" ⟨ Икс б , т б | U ( т б , т а ) | Икс а , т а ⟩ такой, что ψ ( Икс б , т б ) "=" ∫ − ∞ ∞ К ( Икс б , т б ; Икс с , т с ) ψ ( Икс с , т с ) г Икс с , то снова имеем проблему размерности при возведении в квадрат ψ ( Икс б , т б ) .
@AliEsquembreKucukalic Точно нет, потому что ядро К имеет точную обратную размерность, чтобы отменить размерность меры интегрирования г Икс . Это, конечно, просто повторение того факта, что собственные состояния положения нормализуются по Дираку. Чтобы сделать это явным, поскольку U ^ безразмерна (поскольку это просто экспонента), размерность ядра равна размерности ⟨ Икс б | Икс с ⟩ "=" дельта ( Икс б − Икс с ) ∼ л − 1 . Таким образом, нормализуемая волновая функция на LHS, ψ б имеет ту же размерность, что и нормируемая волновая функция на правой стороне, ψ с .
Связь между пропагатором и вероятностью для бесконечной ямы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v