Модель почти свободных электронов и схема редуцированной зоны

Преамбула :

Закон дисперсии для периодического потенциала сам по себе всегда периодичен. То есть, если$E_k$является собственным значением энергии для волнового вектора$k$в решетке с размером ячейки$a$, затем

$$E_{k + G} = E_k, \;\;\;\forall k,\;G = \frac{2\pi}{a}n\;\;\text{(G vector of the reciprocal lattice)}$$ что непосредственно следует из трансляционной симметрии гамильтониана. Чтобы увидеть это, пусть $\psi(x)$— собственная функция гамильтониана. Трансляционная симметрия означает, что (теорема Блоха) $$\psi(x+a) = e^{ika}\psi(x)$$ для некоторого волнового вектора $k$, и что любая собственная функция, ведущая себя, как указано выше, при переносе соответствует одному и тому же собственному значению $E_k$. Таким образом, соответствующие собственные функции также индексируются $k$(и другие квантовые числа, например спин), $\psi_k(x)$.

Теперь пусть$\psi_{k+G}(x)$— собственная функция, соответствующая собственному значению энергии$E_{k+G}$. Затем снова по трансляционной симметрии

$$\psi_{k+G}(x+a) = e^{i(k+G)a}\psi_{k+G}(x) = e^{ika}\psi_{k+G}(x)$$ Который означает, что $\psi_{k+G}(x)$должно соответствовать собственному значению $E_k$, и так $E_{k+G} = E_k$. В качестве примечания: из симметрии обращения времени также следует, что $E_k = E_{-k}$.

Первая зона Бриллюэна выделяет первый период в$E_k$, установив$-\pi \le ka \le \pi$. Если есть$N$частицы в решетке, то есть$N$различные значения$k$в первой зоне Бриллюэна. Можно показать, что отношения$E_{k+G} = E_k$,$E_k = E_{-k}$подразумевать$\frac{dE_k}{dk} = 0$в$k=\frac{\pi}{a}n$,$\;n=0,\pm1,\pm2,\dots$, то есть,$E_k$имеет экстремумы в центре и на краях зон Бриллюэна, где закон дисперсии можно аппроксимировать параболическим,$E_k \sim \pm k^2$. В модели почти свободного электрона это параболическое приближение становится вокруг центра первой зоны Бриллюэна$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$.

Краткий ответ на вопрос :

Причина, по которой эта периодичность не выражена явно в таких выражениях, как$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$заключается в том, что сложность энергетических уровней или энергетических зон в периодической системе можно описать тремя различными схемами . Представление, описанное выше, с использованием$E_k = E_{k+G}$и показывающая все энергетические уровни (полосы) во всех областях пространства волновых векторов, представляет собой так называемую схему периодических зон . Представление с использованием$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$показывает все полосы только в первой зоне Бриллюэна и известна как схема редуцированных зон . Существует также схема расширенной зоны , показанная в другом ответе, которая показывает разные полосы в разных зонах Бриллюэна с разрывами на краях зоны.

Вы можете найти очень хорошее описание 3 схем представления на рис.8, стр.25 этих заметок о теореме Блоха и энергетическом диапазоне[s] . Лекция также содержит большое введение в энергетические зоны в периодических системах из принципов симметрии (трансляция, четность, обращение времени и т. д.).

Механические колебания периодической цепочки атомов и движение электрона в периодических полях — довольно разные задачи, хотя и имеют сходные черты, связанные с периодическими граничными условиями. Частота двухатомной цепочки имеет верхнюю границу, зависящую от межатомного взаимодействия. Энергия электронов не имеет верхней границы, поскольку можно возбудить электрон на сколь угодно высоких уровнях энергии, волновая функция которых удовлетворяет периодическим граничным условиям.

Другими словами, двухатомная цепочка имеет только две возможные моды колебаний, а электрон имеет бесконечное число таких мод, каждая из которых соответствует энергетическому уровню изолированных атомов, образующих периодическую структуру.

Таким образом, закон дисперсии электронов, движущихся в периодических полях, не является периодическим и имеет форму, показанную на рисунке ниже.