Могу ли я использовать тензорное поле более высокого ранга в качестве метрического поля?

Что обязательно должна делать метрика, так это то, что она должна давать мне способ связать инвариантный номер кадра с заданной парой пространственно-временных событий. Теперь, если я использую тензорное поле более высокого ранга (скажем, например, тензорное поле ранга 3:$g_{\mu \nu \rho}$), то также я могу, конечно, создать скаляр, инвариантный к кадру, из заданного смещения$\vec{A}$таким тривиальным способом:$I := g_{\mu \nu \rho} A^{\mu}A^{\nu}A^{\rho}$. Поскольку компоненты тензора более высокого ранга и компоненты вектора смещения будут преобразовываться ковариантным и контравариантным образом соответственно, приготовленная величина, безусловно, является скаляром.

Еще одно важное свойство, которое, как мне кажется, имеет более прямое физическое содержание, чем предыдущее, состоит в том, что между двумя инерциальными системами отсчета должно существовать по крайней мере одно такое преобразование, оставляющее по крайней мере одну метрику неизменной. т. е. должна существовать по крайней мере одна комбинация матрицы преобразования$\displaystyle\frac{\partial{x^{\alpha}}}{\partial{x^{\mu '}}}$и метрика$g_{\alpha \beta \gamma}$который удовлетворяет следующему уравнению:

$\displaystyle\frac{\partial{x^{\alpha}}}{\partial{x^{\mu '}}}\displaystyle\frac{\partial{x^{\beta}}}{\partial{x^{\nu '}}}\displaystyle\frac{\partial{x^{\gamma}}}{\partial{x^{\rho '}}} g_{\alpha \beta \gamma} - \delta_{\mu '}^{\alpha}\delta_{\nu '}^{\beta}\delta_{\rho '}^{\gamma} g_{\alpha \beta \gamma} =0$

Последнее, что я могу придумать, что может наложить ограничение на выбор тензора в качестве метрики, — это существование возможности найти метрически совместимое симметричное поле связности. Следуя обычной процедуре нахождения выражения для метрически совместимого симметричного поля связи, я пришел к следующему условию (в отличие от случая обычной двухранговой метрики, где мы получаем полноценное выражение) для связи в терминах метрики:

$g_{\nu \rho k_1} \Gamma^{k_1}_{\mu \lambda} - g_{\lambda \mu k_2} \Gamma^{k_2}_{\rho \nu} = \displaystyle\frac{1}{2} (\partial_{\nu}g_{\rho \lambda \mu} + \partial_{\rho}g_{\lambda \mu \nu} - \partial_{\lambda}g_{\mu \nu \rho} - \partial_{\mu}g_{\nu \rho \lambda})$

Мой вопрос заключается в том, что если возможно удовлетворить два выделенных условия, то можем ли мы использовать такие тензорные поля 3 ранга (или тензоры даже более высокого ранга с аналогичными условиями) в качестве метрических полей?

PS: Это НЕ предложение для новой теории гравитации домашнего производства (или что-либо в этом отношении), а скорее просто я пытаюсь понять, почему двухранговый тензор используется в общей теории относительности в качестве метрики. Спасибо.