Почему псевдориманова метрика не может определять топологию?

Это просто ложь, по крайней мере, написанная так, как она есть.

Дело в том, что связь между топологией и метрикой более сложная, чем в римановом случае, когда геодезические шары составляют основу топологии$^1$.

На самом деле (связная) лоренцева гладкая метрика$g$над ориентированным во времени гладким многообразием$M$определяет топологию, которая уже присутствует на$M$если пространство-время сильно причинно.

Исправить точку$p\in M$и рассмотрим все (гладкие) времениподобные кривые, направленные в будущее, через$p$и обозначим через$L(\gamma)$лоренцева длина _$\gamma= \gamma(\xi)$,$\xi \in [a,b]$.

$$L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{|g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})|} d \xi$$ Если $q \in M$определить так называемое лоренцево расстояние $q$из $p$в качестве $$\tau(q,p) := \sup \{L(\gamma) \:|\: \mbox{$\gamma$ timelike future-directed from $p$ to $q$}\}$$ Если нет времяподобного будущего, направленного из $p$к $q$существуют, $\tau(q,p) :=0$.

Следующее определение$I^+(p) := \{q \in M \:|\: \tau(q,p)>0\}$а также$I^-(p) := \{q \in M \:|\: \tau(p,q)>0\}$.

Можно доказать, что семейство множеств$I(p,q):= I^+(p) \cap I^-(q)$(с подходящим хронологическим порядком рассуждений) является основой топологии$M$если пространство-время строго причинно [Кронхеймер и Пенроуз (1967)]. (Сильно причинный означает, что каждая открытая окрестность$U$каждого события$p\in M$включает в себя еще один открытый район$V$из$p$такой, что$J^+(r) \cap J^-(s) \subset V$если$r,s \in V$, пространство-время Минковского и все глобально гиперболические пространства-времена, подобные пространству Крускала, строго причинны.)

Это хорошо известный результат полуримановой геометрии (теорема 4.9 во втором издании Global Lorentzian Geometry 1996 г., авторы JK Beem, PE Ehrlich, KL Easley)

ПРИЛОЖЕНИЕ . Чтобы ответить на комментарий к моему ответу, с учетом цитируемого результата топология, индуцированная множествами$I(p,q)$метризуем, поскольку совпадает с естественной топологией многообразия$M$рассматривается как гладкое многообразие независимо от любой (полу)римановой структуры на нем, которое метризуемо. В частности, если$M$является пространством-временем Минковского, расстояние, производящее указанную топологию, может быть построено в явном виде:

$$d((t,\vec{x}), (t',\vec{x}')) = ||\vec{x}-\vec{x}'||+c|t-t'|$$ Шары этого расстояния, очевидно, являются наборами $I((t,\vec{x}),(t',\vec{x}'))$. Это расстояние, очевидно, зависит от выбора минковской системы отсчета.

---

(1) В связном римановом многообразии$M$метрика которого обозначается$g$,$d(p,q) = \inf \{ L(\gamma) \:|\: \gamma \mbox{ smooth curve joining $p$ and $q$}\}$ where

$$L(\gamma) := \int_a^b \sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})} d \xi$$ это дистанция $M$метрическое пространство. Все открытые шары $B_\delta(p):=\{ q\in M \:|\: d(p,q)<\delta\}$, переменный $p\in M$а также $\delta \in (0,+\infty)$, составляют основу топологии, уже существующей в $M$.