О топологии моста Эйнштейна-Розена

Именно поэтому он называется римановым (римановым просто означает, что сигнатура все плюс).

Топология$\mathbb{R}^3$с усечением радиуса$\mathbb{R} \times S^2$. В общем случае сферические координаты покрывают только многообразие вида$\mathbb{R} \times S^2$, так как каждая точка описывает позицию$\rho$на$\mathbb{R^+} \cong \mathbb{R}$и$(\theta, \phi)$на$S^2$(это потому, что координаты вырождены в$\rho = 0$и, следовательно, вы только покрываете$\mathbb{R}^3$минус балл).

Это легче увидеть в двумерном случае, так как легче визуализировать преобразование$\mathbb{R}^2$минус диск в цилиндр, делая границу отверстия верхней частью цилиндра, а границу на бесконечности нижней частью.

Прежде всего я хотел бы подчеркнуть, что вы не можете вывести топологию многообразия из его метрики. Причины:

Топология — глобальное свойство, метрика — локальное свойство

Вы можете сжимать и растягивать многообразие, не меняя топологию, но эти действия обязательно изменят его метрику, так что метрика и топология во многом независимы.

Если вам дана только одна система координат (с метрикой или без нее), вы недостаточно знаете о многообразии, чтобы делать какие-либо выводы относительно его топологии. Вам нужен атлас , чтобы правильно описать многообразие. Это, конечно, означает, что вы должны знать преобразования координат, связывающие различные системы координат.

Таким образом, любое топологическое утверждение, сделанное в тексте, основано на других соображениях, а не на форме метрики.

Теперь ваши вопросы. 1- как вы догадались, римановский просто означает, что сигнатура метрики положительно определена, в то время как псевдоримановский означает, что метрика не является положительно определенной. Однако некоторые авторы (например, MTW) не делают этого различия.

2- да вы в основном правы. Вам дано трехмерное многообразие$S(\rho,\phi,\theta)$и его показатель, вы вставляете его в$R^4(y^0,y^1,y^2,y^3)$со своей стандартной метрикой. Это похоже на стандартную 2D-поверхность, погруженную в стандартную$R^3$космос. Вы должны найти / угадать карту$f:S(\rho,\phi,\theta) \to R^4(y^0,y^1,y^2,y^3)$такой, что стандартная метрика на$R^4$, при оттягивании дает заданную метрику. Вы можете представить, что трехмерная поверхность имеет осевую симметрию, поэтому вам нужна осесимметричная трехмерная поверхность.$y^0=g(\rho)$. В целом это хорошо описано на страницах MTW 613 и 837.