Мотивация уравнений Эйлера-Лагранжа для полей

В лагранжевой механике можно мотивировать уравнения Эйлера-Лагранжа с помощью принципа Даламбера. Это гораздо более естественный путь, чем постулирование принципа наименьшего действия. Одна приятная вещь, которую мы получаем из этого, заключается в том, что мы в конечном итоге «выводим» принцип наименьшего действия, поскольку полученные уравнения являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для действия

С [ γ ] "=" ∫ а б л ( γ ( т ) , γ ′ ( т ) ) г т .

Теперь, в классической теории поля, большинство ресурсов, которые я нашел по этому вопросу, просто утверждают:

Чтобы найти уравнения движения для поля ф вы применяете принцип наименьшего действия к действию

С [ ф ] "=" ∫ л ( ф ( Икс ) , ∂ мю ф ( Икс ) ) г 4 Икс .

Это квитанция: в ней говорится, что вы должны сделать, чтобы найти уравнения движения. Он говорит, что вам нужна функция л ( ф , ∂ мю ф ) и что нужно применить вариационный принцип к действию С так определено.

Тем не менее, мне немного неясно, зачем кому-то это делать. Я имею в виду, я знаю, что это работает, но как люди пришли к такому результату?

Я чувствую, что этому не хватает мотивации. Как я уже сказал, вариационный принцип классической механики большую часть времени одинаково неясен и плохо мотивирован, и действительно, когда я впервые столкнулся с ним, я спросил себя: «Как физики пришли к этому и как кто-нибудь мог это открыть?» , однако принцип Даламбера способен решить эту проблему.

А как насчет классической теории поля? Как можно мотивировать принцип наименьшего действия? Как физики обнаружили, что это способ найти уравнения движения для поля? Как кто-то мог сказать «откуда это?» вместо того, чтобы просто дать квитанцию?

Если у вас есть принцип наименьшего действия для неполевой лагранжевой механики, не кажется ли вам естественным постулировать, что полевая лагранжева механика работает по тому же принципу, а отличается только числом степеней свободы? Я вовсе не считаю принцип наименьшего действия лишенным мотивации.
Связанный/возможный дубликат: почему принцип наименьшего действия?
Во-первых, мы не выводим принцип наименьшего действия, это аксиома. Это звучит так: среди всех математически возможных конфигураций поля та, которая минимизирует действие, является физически правильной. В природе любая система всегда подчиняется принципу наименьшего действия.

Ответы (1)

Комментарии к посту (v1):

  1. Принцип стационарного действия не является обязательным требованием, которому должны подчиняться все (полевые) теории. Исторически это часто наблюдение, сделанное задним числом.

  2. Скорее отправной точкой теории (поля) [помимо, например, экспериментальных данных] обычно являются ее классические уравнения движения [например, уравнения Максвелла в E&M, уравнения поля Эйнштейна в ОТО и т. д.].

  3. Априори не гарантируется существование формулировки вариационного действия, ср. например , этот пост Phys.SE [и исторически появился позже, чем EOM в случае E&M и GR], но на удивление часто существует. Это подводит нас, например, к этому связанному сообщению Phys.SE.

Мотивация уравнений Эйлера-Лагранжа для полей
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v