Почему действие является функционалом только qqq?

Question

СРС

Действие частицы записывается как

С [д] "=" \int д т л (д (т), \dot{д} (т), т) .

$S[q]=\int dt\hspace{0.2cm} L(q(t),\dot{q}(t),t).$ Как я могу понять, почему

S

$S$ является функционалом

q

$q$ , а не то, что

\dot{q}

$\dot{q}$ ? Предполагая

L = \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2} - V (q)

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)$ и

V (q) = α q^{2}

$V(q)=\alpha q^2$ (как пример), как я могу понять, что

S = S [q]

$S=S[q]$ и

S \neq S [q, \dot{q}]

$S\neq S[q,\dot{q}]$ ?

Qмеханик · Answer 1

Обозначение $q$ в функциональном $S[q]$ обозначает всю параметризованную кривую/путь $q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ , а не только одну позицию. В частности, параметризованный путь уже несет всю информацию о производной $\dot{q}\equiv\frac{dq}{dt}$ , поэтому нет необходимости включать его в качестве дополнительного аргумента в действие.
Напротив, лагранжиан $L(q(t),v(t),t)$ в какой-то момент $t$ является функцией _
- мгновенное положение $q(t)$ в то время $t$ ;
- мгновенная скорость $v(t)$ в то время $t$ ; и
- время $t$ (также известный как явная зависимость от времени).
См. также этот и этот связанные посты Phys.SE.

Но лагранжиан также параметризуется $q(t)$ , весь путь. Не так ли? Но мы все равно пишем $L=L(q,\dot{q})$ . @Qмеханик
Это объясняется в моем ответе Phys.SE здесь .