О смене базиса в квантовой механике [закрыто]

Скажем, у меня есть квантовое состояние$|\psi\rangle$записанный в виде линейной комбинации некоторых базисных векторов$\{ | \varphi \rangle _i \}_{i \in \mathbb N}$из$\scr H$.

Цель . Переписать$|\psi\rangle$на другом основании$\{ | \phi \rangle _i \}_{i \in \mathbb N}$из$\scr H$.

Я могу применить унитарный оператор$U$, другими способами.

1. Пассивное преобразование (также известное как сохранение фиксированного состояния и преобразование основы).

$\displaystyle | \psi_\varphi \rangle = \sum_i f_i |\varphi_i\rangle \longrightarrow \displaystyle | \psi_\phi \rangle = \sum_i g_i |\phi_i\rangle$, в преобразованном базисе$|\phi_i\rangle = U | \varphi_i \rangle$. Проблема состоит в том, чтобы найти эти новые коэффициенты. $j$-й коэффициент$g_j$можно найти, проецируя состояние$|\psi_\phi \rangle$над его$j$-й компонент$|\phi_j\rangle$:

$\displaystyle \langle \phi_j | \psi\rangle = \langle \phi_j |\sum_i g_i |\phi_i\rangle = \sum_i g_i \delta_{ji} = g_j$

Повторим ту же процедуру с$|\psi_\varphi \rangle$, так как две формулировки должны быть равны:

$\displaystyle \langle \phi_j | \psi\rangle = \langle \phi_j |\sum_i f_i |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \phi_j |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_j | U^\dagger |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_i | U |\varphi_j\rangle^* = \sum_i f_i U^{*}_{ij}$

Это значит:

2. Активное преобразование (также известное как сохранение фиксированной основы и преобразование состояния).

$\displaystyle | \psi \rangle = \sum_i f_i |\varphi_i\rangle \longrightarrow \displaystyle | U \psi \rangle = \sum_i h_i |\varphi_i\rangle$, в преобразованном состоянии$U | \psi \rangle$.

Как и в 1.,$j$-й коэффициент$h_j$можно найти в проекции состояния$|U \psi⟩$над его j-й компонентой$|\varphi_j⟩$:

$\displaystyle ⟨\varphi_j|Uψ⟩=⟨\varphi_j|\sum_i h_i|\varphi_i⟩=\sum_ih_i\delta_{ji}=h_j$

С другой стороны:

$\displaystyle \langle \varphi_j | U \psi\rangle = \langle \varphi_j |\sum_i f_i U |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_j | U |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i U_{ji}$

Отсюда заключаем:

Проблема .$U_{ji} = U^*_{ij}$означает$U = U^\dagger$, но$U$предполагается унитарным, а не самосопряженным. Следовательно, эти два преобразования не эквивалентны, даже если они должны быть эквивалентны. Что я сделал не так?

Дополнение . Единственный способ, который я нашел, чтобы получить$h_j = g_j$это обмен$U$с$U^\dagger$в пассивном преобразовании (1.). Это значит писать$U |\phi_i\rangle =| \varphi_i \rangle$вместо$|\phi_i\rangle = U | \varphi_i \rangle$, но это немного бессвязно. начну с основы$\{| \varphi_i \rangle\}$, поэтому я должен применить$U$к тому, с чего я начинаю.

Решение . На самом деле формула смены базиса предписывает прямо противоположное. Цитируя Википедию:

Такое преобразование следует из формулы изменения базиса, которая выражает координаты относительно одного базиса через координаты относительно другого базиса. Используя матрицы, эту формулу можно записать${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$где$\operatorname{old}$и$\operatorname{new}$относятся соответственно к первому определенному основанию и другому основанию,${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$и${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$- векторы-столбцы координат одного и того же вектора на двух основаниях, и${\displaystyle A}$- матрица изменения базиса (также называемая матрицей перехода), которая представляет собой матрицу, столбцы которой представляют собой координатные векторы новых векторов базиса на старом базисе.

В данном контексте$| \varphi _i\rangle$играет роль$\operatorname{old}$, так что я должен был написать$| \varphi _i\rangle = U |\phi_i \rangle$в 1.).

Прошу прощения за мою оплошность. Спасибо вам всем.