Почему нам нужны и гамильтониан, и гильбертово пространство, чтобы определить квантовую систему?

Question

Почему нам нужны и гамильтониан, и гильбертово пространство, чтобы определить квантовую систему?

Вэй-Тин Куо

Насколько я понимаю, когда у нас есть гамильтониан, в принципе мы можем знать собственные состояния для нашей интересующей системы. Тогда мы можем вычислить все, что хотим.

Кроме того, эти собственные состояния образуют гильбертово пространство нашей квантовой системы. Кажется, что гамильтониана достаточно, чтобы определить квантовую систему.

Однако есть некоторые учебники, в которых упоминается, что нам нужны и гамильтониан, и гильбертово пространство, чтобы определить квантовую систему.

Зачем нам действительно нужно гильбертово пространство, чтобы определить нашу квантовую систему?

Классический стиль

Это немного похоже на вопрос, зачем нам нужны векторные пространства, если у нас есть законы Ньютона... это важно для развития теории и ее осмысления.

Феникс87

Гамильтониан в квантовой механике — это оператор в некотором гильбертовом пространстве, обычно неограниченном, но самосопряженном. Как у вас может быть гамильтониан, если вы не знаете, где он действует? Например, предположим, что

H

$H$ это оператор, который растягивает каждый вектор на положительную величину

λ

$\lambda$ . Как бы вы представляли

H

$H$ как матрица? Это 2х2, 3х3, 147х147?

Любопытный Разум

Как говорит Phoenix87, этот вопрос не имеет смысла — вы не можете указать оператор, не указав пространство, на которое он действует; давать гамильтониан без гильбертова пространства просто не имеет смысла.

Ответы (2)

Почему нам нужны и гамильтониан, и гильбертово пространство, чтобы определить квантовую систему?

Это немного похоже на вопрос, зачем нам нужны векторные пространства, если у нас есть законы Ньютона... это важно для развития теории и ее осмысления.
Гамильтониан в квантовой механике — это оператор в некотором гильбертовом пространстве, обычно неограниченном, но самосопряженном. Как у вас может быть гамильтониан, если вы не знаете, где он действует? Например, предположим, что $H$ это оператор, который растягивает каждый вектор на положительную величину $\lambda$ . Как бы вы представляли $H$ как матрица? Это 2х2, 3х3, 147х147?
Как говорит Phoenix87, этот вопрос не имеет смысла — вы не можете указать оператор, не указав пространство, на которое он действует; давать гамильтониан без гильбертова пространства просто не имеет смысла.

Ылы · Answer 1

Ылы

Есть математическая причина и (своего рода) физическая причина:

Математическая причина: гамильтониан — это прежде всего оператор в гильбертовом пространстве. Не зная гильбертова пространства, не имеет смысла даже говорить об операторе в нем.

Физическая причина (вроде): что-то похожее на тот же гамильтониан, например, гамильтониан свободных частиц $H=\frac{P^2}{2m}$ , можно осмысленно интерпретировать в различных гильбертовых пространствах. Например, частица может двигаться в неограниченном пространстве. $\mathbb{R}^n$ или ограниченное пространство типа тора ( $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ ). Это имеет наблюдаемое различие: собственные энергии гамильтониана будут разными в двух случаях (спектр непрерывен для $\mathbb{R}^n$ и дискретный для тора).

(Причина, по которой я говорю, что вторая проблема является «своего рода» физической проблемой, заключается в том, что математическая причина, приведенная выше, фактически устраняет эту проблему: чтобы быть строгим, вы всегда должны указывать сначала гильбертово пространство, а затем гамильтониан, и вы никогда не столкнетесь с неоднозначности, например, является ли спектр дискретным или непрерывным.)

Вэй-Тин Куо

Прошу прощения за то, что не конкретизировал свой вопрос подробнее. Во-первых, я согласен с тем, что сначала у нас должно быть гильбертово пространство, и оно формирует базовую математическую структуру нашей квантовой системы. Я хочу спросить, повлияет ли на что-нибудь наш выбор гильбертова пространства. Это именно то, что вы упоминаете в своей физической причине. Однако я не совсем понимаю, что вы подразумеваете под разными собственными энергиями для разного выбора гильбертова пространства. Пока у нас есть гамильтониан, собственные энергии уже определены, верно? У нас также есть собственные векторы, но эти векторы будут представлены другим вектором состояния.

Вэй-Тин Куо

Из-за разного выбора гильбертова пространства. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь. Спасибо.

Ылы

@ Wei-TingKuo Возможно, более простым примером для иллюстрации является оператор

x

$x$ . Если базовое гильбертово пространство имеет состояния, которые живут на

R

$\mathbb{R}$ , затем

x

$x$ может иметь любое собственное значение из

- \infty

$-\infty$ к

+ \infty

$+\infty$ . Если состояния живут на единичном интервале

[0, 1]

$[0,1]$ , затем

x

$x$ могут иметь только собственные значения от 0 до 1. Для случая, упомянутого выше,

H = P^{2} / 2 m

$H=P^2/2m$ , происходит нечто подобное. Над неограниченной областью,

H

$H$ имеет все положительные действительные числа в качестве собственных значений. Над ограниченной областью собственные значения

H

$H$ являются дискретными. Последний случай по существу является квадратным колодцем.

Вэй-Тин Куо

Хорошо. Значит, область определения гильбертова пространства будет зависеть от гамильтониана, верно? Как случай со свободной частицей. Гамильтониан квадратной ямы физичен только внутри ямы (вне ямы гамильтониан взрывается, что нефизично). Следовательно, область гильбертова пространства ограничена. Что я хочу здесь сказать, есть ли какая-то физическая разница, если мы определим разные гильбертовы пространства для одного и того же гамильтониана (он может быть ограниченным или неограниченным)? Спасибо.

Вэй-Тин Куо

Этот вопрос взят из учебника профессора Сяо-Ган Вэня «Квантовая теория поля систем многих тел». В этом учебнике он упоминает, что разница между калибровкой и симметрией зависит от того, как мы определяем гильбертово пространство. Означает ли это также, что единственный принцип, по которому мы можем корректировать наше гильбертово пространство, основан на симметрии нашего гамильтониана?

Ылы

@ Wei-TingKuo Во-первых (и лучший ответ): не существует такой вещи, как «разные гильбертовы пространства для одного и того же гамильтониана». Это правильная математическая точка зрения. Гамильтониан — это оператор в конкретном гильбертовом пространстве, периоде, и он не имеет смысла ни в каком другом гильбертовом пространстве. (Эквивалентный способ думать об этом состоит в том, что гамильтониан генерирует сдвиги времени для конкретного гильбертова пространства и не влияет на любое другое гильбертово пространство.) См. следующий комментарий для другого ответа.

Ылы

@ Wei-TingKuo Однако могут быть полезные способы идентификации гамильтонианов для разных гильбертовых пространств. Это пример, который я привел выше. Более тривиальным примером является взаимосвязь между системами свободных частиц в разных измерениях.

H = P^{2} / 2 m

$H=P^2/2m$ имеет смысл в любом количестве измерений, 1, 2, 3, ..., но эти случаи, очевидно, очень различны физически. У них даже разная симметрия (O(N), ибо N=размерность пространства).

Ылы

@ Wei-TingKuo Что касается того, о чем говорится в учебнике, я не уверен. Одно из возможных значений состоит в том, что, зафиксировав калибровку, мы можем дать эквивалентное описание системы с калибровочной симметрией. Система с фиксированной калибровкой может быть представлена другим гильбертовым пространством (или поверхностью внутри гильбертова пространства). Система с фиксированной калибровкой и гильбертово пространство больше не имеют исходной калибровочной симметрии. Строго говоря, она также имеет другой гамильтониан (в упомянутом выше смысле), хотя его гамильтониан, очевидно, имеет то же физическое содержание, что и гамильтониан исходной системы (без фиксации калибровки)

Вэй-Тин Куо

Соглашаться! Так убедительно. Ваш ответ великолепен. Спасибо за терпение и понятное объяснение. Я понял.

Ылы

@ Wei-TingKuo Кроме того, в вашем комментарии выше вы думаете о квадратном колодце, определенном в гильбертовом пространстве функций по всей реальной линии, с потенциалом, определенным также на всей реальной линии, который имеет бесконечную величину за пределами конечный диапазон. Альтернативный (более математически обоснованный) способ рассматривать квадратную яму — это определить ее в совершенно другом гильбертовом пространстве: периодические функции или функции интервала. Тогда потенциал в этом пространстве равномерно равен нулю, а гамильтониан — это в точности «гамильтониан свободных частиц», только в другом гильбертовом пространстве.

Ылы

@ Wei-TingKuo Кроме того, вы можете найти поучительную статью в Википедии «Частица в кольце».

Граф Иблис · Answer 2

Необходимы и гильбертово пространство, и гамильтониан, но существует двойственность между гильбертовым пространством и гамильтонианом. Чем более общим вы делаете описание системы и, следовательно, чем больше становится гильбертово пространство, тем проще становится гамильтониан.

Рассмотрим, например, гамильтониан, описывающий живую простую молекулу H2O. Это чрезвычайно сложный гамильтониан, он содержит все взаимодействия между всеми электронами в этой молекуле. Однако этот гамильтониан применим только к состояниям, в которых присутствует правильное количество электронов и ядер. Предположим, мы рассматриваем большее гильбертово пространство и более общий гамильтониан. Например, гамильтониан Стандартной модели может описывать системы, для которых требуется большее гильбертово пространство. Этот гамильтониан гораздо проще определить, чем гамильтониан молекулы H2O, но теперь вам нужно больше информации, чтобы указать состояние H2O в большем гильбертовом пространстве, которое описывает Стандартная модель.

Спасибо за Ваш ответ. Что меня смущает в вашем объяснении, так это то, что значение «более общего». Вы имеете в виду, что у нас меньше степеней свободы в более общем гамильтониане? Спасибо
@ Wei-TingKuo Да, это предполагает, что вы имеете дело с известными законами физики, а не с какой-то искусственной моделью. Фундаментальные законы сформулировать просто: если рассматривать некоторую данную систему, степени свободы которой в основном «заморожены», за исключением нескольких, то несколько оставшихся степеней свободы будут описываться эффективным гамильтонианом, который может быть чрезвычайно сложный.

Почему нам нужны и гамильтониан, и гильбертово пространство, чтобы определить квантовую систему?

Вэй-Тин Куо

Классический стиль

Феникс87

Любопытный Разум

Ответы (2)

Ылы

Вэй-Тин Куо

Вэй-Тин Куо

Ылы

Вэй-Тин Куо

Вэй-Тин Куо

Ылы

Ылы

Ылы

Вэй-Тин Куо

Ылы

Ылы

Граф Иблис

Вэй-Тин Куо

Граф Иблис

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Мотивация вероятностей перехода в квантовой механике

Почему общие волновые функции выражаются через собственные функции энергии?

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Можем ли мы понять гамильтониан a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa?

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?