Можем ли мы сделать лучше, чем «спинор — это то, что трансформируется подобно спинору»?

Правильная аналогичная формализация спиноров состоит не в том, чтобы рассматривать их как некие функции, отличные от тензоров в одном и том же базовом векторном пространстве.$V$, но вместо этого, чтобы расширить наше представление о лежащей в основе геометрии: если тензоры являются полилинейными функциями в векторных пространствах, тензоры со «спинорной» и «векторной» частями являются полилинейными функциями в супервекторных пространствах. $V = V_0\oplus V_1$где нечетная часть$V_1$является спинориальным представлением$\mathrm{Spin}(V_0)$. (nlab называет эти пространства суперпространствами Минковского ).

Через двойственное представление линейные функции на$V_1$наследуют представление спиновой группы. (Мульти)линейные функции также наследуют суперградуировку (линейная функция, равная нулю в нечетной части, является четной, а линейная функция, равная нулю в четной части, является нечетной), и такие чисто четные функции являются обычными тензорами. , а чисто нечетные функции являются чистыми спинорами.

Обратите внимание, что мы по-прежнему вводим спиновое представление$V_1$вручную - выбор не определяется базовым пространством$V_0$. В некотором смысле это неудивительно — понятие «спин» и спинор на самом деле больше , чем просто наличие векторного пространства: все (псевдоримановы) многообразия (по образцу векторных пространств$\mathbb{R}^n$) имеют понятие тензоров, построенных на тензорных произведениях (ко)касательных пространств, но не все многообразия имеют спиноры , т. е. возможность последовательно сопоставить каждой точке многообразия спинориальное представление. Для простых векторных пространств выбор понятия спина не затруднен, но остается выбором.

То, что супергеометрический подход, тем не менее, является «правильным» (или, по крайней мере, полезным), становится очевидным, когда мы обращаемся к теории поля, где необходимо представлять фермионные/спинориальные степени свободы антикоммутирующими переменными, а$\mathbb{Z}/2$Затем -градуировка лежащего в основе векторного пространства позволяет нам сделать это, просто объявив, что нечетные компоненты антикоммутируют.

Я думаю, что вы просите интуицию в неправильном направлении здесь.

Предположим, что кто-то уже знаком с векторами и хочет понять тензоры. Это возможно, потому что тензорные представления строятся из векторов, т.е. ранга$2$тензорное представление - это просто произведение двух векторных представлений или, что то же самое, ранг$2$тензор — это билинейная карта двух векторов.

А вот со спинорами все наоборот. Спиноры не строятся из векторов, вместо этого векторы строятся из спиноров! Спиноры — это простейшие возможные представления группы Лоренца, а векторное представление — это произведение левого спинора и правого спинора (или, что то же самое, вектор — это билинейное отображение двух спиноров).

Другими словами, спрашивать, что лежит в основе спиноров, — неправильный вопрос. Спиноры — это структура, лежащая в основе всего, что вы уже знали. Вам нужно перестроить свое понимание со спинорами внизу, а не вверху.

Такое часто случается в физике: вы не можете требовать интуитивного вывода фундаментальной вещи из составной. То, о чем вы спрашиваете, аналогично спрашиванию, из каких атомов состоит протон, или сколько протонов находится внутри кварка, или как построить вектор из тензоров. (Между прочим, изучение сложной математики, как предлагается в других ответах, никогда не отвечает на такие вопросы, потому что эти вопросы по своей сути не имеют ответов. На самом деле происходит то, что в процессе изучения математики вы знакомитесь с этими новыми элементарными объектами. Как только вы научитесь свободно с ними работать, вы перестанете беспокоиться об объяснении их с точки зрения вещей, которые вы знали раньше, потому что вы понимаете их на их собственных условиях.)

Да. Спиноры являются элементами пространств представления объектов, известных как алгебры Клиффорда .

Алгебра Клиффорда — это, по сути, векторное пространство, превращенное в алгебру с помощью правила произведения

$$v\cdot w=2g(v,w)\Bbb{1}$$

где$g$есть некоторая метрика в самом векторном пространстве. Наиболее известной алгеброй Клиффорда является алгебра Дирака, т. е. алгебра матриц Дирака (для которых векторное пространство$\Bbb{R}^{4}$и метрика является метрикой Минковского). Если вместо этого вы используете$\Bbb{R}^{3}$в качестве базового векторного пространства с евклидовой метрикой вы получаете алгебру Паули.

Когда у вас есть алгебра Клиффорда, вы можете искать ее представления (или «модули», как они известны в литературе). Элементами этих представлений являются спиноры . Спиноры, соответствующие$\Bbb{R}^{4}$с метрикой Минковского являются спинорами Дирака, тогда как те, которые соответствуют$\Bbb{R}^{3}$с евклидовой метрикой являются спинорами$SO(3)$/$SU(2)$.

Что ж, вам следует взглянуть на (неприводимые) представления группы Лоренца. По сути, вы хотите, чтобы все ваши ингредиенты имели правильные и последовательные преобразования в группе Лоренца.

Спиноры Вейля и Дирака — самые основные объекты, удовлетворяющие этому требованию.

Исходя из них, вы можете строить векторы как (мультипликативные) комбинации двух спиноров. Вот почему в старых текстах вы иногда встречаете спиноры, называемые «полувекторами». Кроме того, в этом контексте они используют только «половину» преобразования вектора, то есть одностороннее или двустороннее.

В этом смысле это спиноры-> векторы-> тензоры.

Если вам нравится, вы также можете посмотреть на вещи в контексте геометрической алгебры или алгебры пространства-времени, восходящей к Дэвиду Хестенесу. Здесь вы можете иметь спиноры, свободные от любого матричного представления.

На ум также приходят две другие ссылки с разных точек зрения: «Спиноры и пространство-время» (Пенроуз) и «ГРАВИТАЦИЯ» (Мизнер Торн Уиллер).

Однако общей чертой всех подходов являются особые, фундаментальные свойства преобразования, которыми они обладают. Вы не можете обойти это.

Я иду по пути алгебры Клиффорда, как указано non-user38741 и Джорджио Комитини, но я попытаюсь интуитивно обосновать, как в конечном итоге туда прийти и почему закон спинорного преобразования кажется неизбежным. Итак, я начну с геометрической алгебры, которая является просто другим названием алгебры Клиффорда при использовании в контексте физики, а векторы рассматриваются как элементы самой алгебры (т. е. мы не навязываем отдельную матричную алгебру). Так что возьми$\mathbb{R}^{n, m}$с внутренним продуктом$<\cdot,\cdot>$и определим геометрическую алгебру$\mathcal{G}(\mathbb{R}^{n, m})$как самая свободная ассоциативная алгебра над$\mathbb{R}^{n, m}$который удовлетворяет

$$\begin{equation} v^2 = <v, v>, \end{equation}$$ где квадрат — это, конечно, алгебраическое умножение. Мы будем называть умножение в этой алгебре геометрическим произведением .

Правда, это вводит еще одно пространство, но весьма естественное: элементы геометрической алгебры можно интерпретировать как состоящие из скаляров, векторов$\mathbb{R}^{n, m}$, бивекторы $u\wedge v$где$u$и$v$являются векторами и$u\wedge v := \frac{1}{2}(uv - vu)$, 3-векторы$u\wedge v\wedge w$и так далее до (n + m) -векторов. $n$-векторы можно интерпретировать как направленные элементы площади/объема/n-объема. Для причудливого введения см. «Мнимые числа не являются реальными» , а в качестве подробного введения — «Алгебра Клиффорда к геометрическому исчислению» Хестенеса или « Геометрическая алгебра для физиков» Дорана и Ласенби .

Теперь оказывается, что поворот вектора$v$в плоскости, определяемой простым бивектором$\omega$к$|\omega|$радианы (где абсолютное значение равно$\sqrt{-\omega^2}$, так как квадрат$\omega$отрицательно) может быть выражено в геометрической алгебре (ГА) как

$$\begin{equation} v \mapsto \exp(\omega) v \exp(-\omega), \end{equation}$$ где экспонента определяется обычным степенным рядом, где умножение является геометрическим произведением, а простой бивектор - это бивектор, который можно записать как произведение клина$a \wedge b$для некоторых векторов$a, b$. Общее вращение задается по той же формуле, но с$\omega$не обязательно простым (т. е. может потребоваться сумма нескольких простых бивекторов). Результат экспоненты тогда находится в четной подалгебре , т.е. построенной из объектов, которые могут быть выражены как сумма произведений четного числа векторных факторов. Мы называем результат возведения в степень ротором и часто обозначаем$R = \exp(\omega)$. Тогда объект в правой части преобразования также можно записать как$\tilde{R}$, где тильда означает реверсию , что просто означает взятие каждого фактора в геометрическом произведении и изменение их порядка на обратный. Дальше,$R \tilde{R} = 1$когда$R$является ротором.

Появляется первый проблеск спинороподобного закона преобразования: в общем случае мы можем вращать все элементы пространства по приведенному выше двустороннему закону вращения, и ничего не меняется. Однако, если мы представим вращения ротором$\exp(\omega)$, то композиция вращений имеет вид$\exp(\omega_1) \exp(\omega_2)$, который также является ротором.

Теперь остановимся конкретно на$\mathbb{R}^{1, 3}$. Тогда мы можем написать свободное уравнение Дирака как

$$\begin{equation} \nabla \psi I_3 + m \psi = 0, \end{equation}$$ где$\nabla$является векторной производной $\nabla = e^\mu \partial_\mu$, и$e^\mu$являются базисными векторами, действующими через геометрическое произведение (так что$\nabla$алгебраически является вектором). Поле Дирака$\psi$принимает значения в четной подалгебре геометрической алгебры.$I_3$представляет собой трехвектор, который, по-видимому, выбирает предпочтительный срез пространства-времени и, следовательно, нарушает лоренц-инвариантность. Однако рассмотрим другой выбор, заданный$I'_3 = R I_3 \tilde{R}$. Тогда соответствующее новое уравнение Дирака имеет вид

$$\begin{equation} \nabla \psi' R I_3 \tilde{R}+ m \psi' = 0. \end{equation}$$ Сейчас если$\psi$решает исходное уравнение Дирака, то, очевидно,$\psi' = \psi \tilde{R}$решает это новое уравнение с$I_3'$. Другими словами, когда объект$I_3$преобразуется как (три)-вектор при поворотах, то$\psi$трансформируется как спинор, и появился закон трансформаций.

Затем обратите внимание, что физические предсказания теории зависят только от билинейных Дирака, которые на этом языке могут быть записаны аналогично

$$\begin{equation} \psi I_3 \tilde{\psi}, \end{equation}$$ и что когда$I_3$преобразуется как трехвектор и$\psi$как спинор, физические предсказания остаются неизменными. Другими словами, здесь требуется закон спинорного преобразования, чтобы физические предсказания теории не зависели от выбора направленного элемента объема$I_3$.

Действительно, существует естественная интерпретация объекта$\psi$как произведение ротора, масштабирования и преобразования между скалярами и псевдоскалярами в$\mathbb{R}^{1,3}$. Таким образом, закон спинорного преобразования естественно проявляется как композиция роторов (или ротороподобных объектов). Конечно, поскольку нет трактовки квантовой теории поля на языке геометрической алгебры, неясно, насколько далеко и серьезно это можно воспринимать как интерпретацию физического уравнения Дирака, но, тем не менее, оно, по крайней мере, дает пример естественного появления спиноров. , без ручного наложения закона преобразования. Скорее, оно происходит от преобразований решений уравнения Дирака при выборе константы$I_3$трансформируется поворотами.

Я уверен, что это краткое введение в тему оставляет много вопросов без ответа и может быть немного запутанным, но если я пробудил ваш интерес, я предлагаю вам пройти по некоторым ссылкам здесь и продолжить в том же духе.