Вопрос об истинной природе математического объекта Spinor [закрыт]

Мой вопрос довольно глупый, но я действительно хотел бы знать, что такое спинор на самом деле. Я объясню, что такое мое понятие «по-настоящему». Во всех постах с вопросами учитывайте только конечные векторные пространства и$\mathbb{K} \equiv \mathbb{R}$, поле. Я не собираюсь приводить какие-либо доказательства для любого объекта, определенного и раскрытого здесь. Для простоты я буду иметь дело только с тензорами второго порядка.

1) Что на самом деле представляют собой векторы и ковекторы?

Вектор — это математический объект, который является членом определенной алгебраической структуры, называемой векторным пространством. То есть:

$$\mathfrak {V} \equiv [\mathcal{V},(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{V}},\boxdot_{\mathfrak{V}}]$$

Где$\mathcal{V}$непустое множество элементов,$(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}})$другая алгебраическая структура, называемая полем;$\boxplus_{\mathfrak{V}}$и$\boxdot_{\mathfrak{V}}$две бинарные операции, называемые соответственно суммой векторов и скалярным умножением.

Сумма векторов определяется как:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{V}} :\mathcal{V}\times \mathcal{V} &\to \mathcal{V} \\ (v,u)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{V}}(v,u) \equiv v \boxplus_{\mathfrak{V}} u \end{array}$$

Скалярное умножение определяется как:

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{V}} :\mathbb{K}\times \mathcal{V} &\to \mathcal{V} \\ (\alpha,v)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{V}}(\alpha,v)\equiv \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} u \end{array}$$

Более того, каждый из них должен удовлетворять некоторым свойствам:

Для$\boxplus_{\mathfrak{V}}$:

(ассоциативность):$v \boxplus_{\mathfrak{V}} (u\boxplus_{\mathfrak{V}} w) = (v\boxplus_{\mathfrak{V}} u)\boxplus_{\mathfrak{V}} w$

(Вычислимость):$v \boxplus_{\mathfrak{V}} u = u\boxplus_{\mathfrak{V}} v$

(Существование нейтрального элемента):$\forall v\in \mathcal{V},$ $\exists$ $0_{\mathfrak{V}}$ $|$ $v\boxplus_{\mathfrak{V}} 0_{\mathfrak{V}} = v = 0_{\mathfrak{V}}\boxplus_{\mathfrak{V}} v$

(Существование противоположного элемента):$\exists (-v)$, для каждого,$v\in \mathcal{V},$ $|$ $v\boxplus_{\mathfrak{V}} (-v) = 0_{\mathfrak{V}} = (-v) \boxplus_{\mathfrak{V}} v$

Для$\boxdot_{\mathfrak{V}}$:

$\alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} (v\boxplus_{\mathfrak{V}} u) = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v \boxplus_{\mathfrak{V}} \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}}u$

$(\alpha +_{\mathbb{K}} \beta)\boxdot_{\mathfrak{V}} v = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v \boxplus_{\mathfrak{V}} \beta \boxdot_{\mathfrak{V}}v$

$(\alpha \cdot_{\mathbb{K}} \beta)\boxdot_{\mathfrak{V}} v = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} (\beta \boxdot_{\mathfrak{V}}v)$

$1_{\mathbb{K}} \boxdot_{\mathfrak{V}} v = v$

Где$1_{\mathbb{K}}$— единичный элемент или единичный скаляр поля (в нашем случае$1_{\mathbb{K}} = 1\in \mathbb{R}$, и$0_{\mathfrak{V}}$является нулевым вектором векторного пространства.

Итак, со всеми этими свойствами мы можем говорить верно (мы определили, что есть) о том, что такое вектор .

$$* * *$$

Рассмотрим теперь новый тип объекта, который обобщает понятие линейной функции; новые объекты называются линейными преобразованиями (или линейными картами):

$$\begin{array}{rl} L :\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto L[v] := \cdot\end{array}$$

(символ$L[v]$означает как то, что линейное отображение L действует на вектор v, так и образ L в$\mathfrak{W}$). Другой символ$:= \cdot$означает «дать какое-то определение$L$")

И эти линейные карты должны удовлетворять двум «ограничениям», называемым условием линейности:

$L[v \boxplus_{\mathfrak{V}} u ] = L[v] \boxplus_{\mathfrak{W}} L[u]$

$L[\alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v] = \alpha \boxdot_{\mathfrak{W}} L[v]$

Теперь рассмотрим набор всех линейных карт:

$$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})\equiv \mathcal{L} = \Big\{ L\in \mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}) | L: \mathfrak{V} \to \mathfrak{W} \Big\}$$

а затем определить две новые бинарные операции:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}} :\mathcal{L}\times \mathcal{L} &\to \mathcal{L} \\ (L,T)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin}}(L,T) \equiv L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L} &\to \mathcal{L} \\ (\alpha,L)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin}}(\alpha,L) \equiv \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L \end{array}$$

Теперь эти операции фактически определяют две карты, называемые:

Сумма линейных карт, определяемая как:

$$\begin{array}{rl} L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T:\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto (L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T)[v] := L[v] \boxplus_{\mathfrak{W}} T[v] \end{array}$$

Скалярное умножение линейных карт, определяемое как:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L:\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L)[v] := \alpha \boxdot_{\mathfrak{W}} L[v] \end{array}$$

и каждая из них должна удовлетворять условию линейности, чтобы стать линейной картой.

Тогда с помощью описанного выше механизма мы можем назвать множество$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})$векторное пространство.

$$\mathfrak{Lin}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}) \equiv \mathfrak{Lin} \equiv [\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}},\boxdot_{\mathfrak{Lin}}]$$

Это векторное пространство называется векторным пространством линейных преобразований. И элементы называются (очевидно) линейными преобразованиями или линейными картами.

$$* * *$$

Рассмотрим теперь особый тип линейной карты, определяемый как:

$$\begin{array}{rl} f:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto f[v] := \cdot\end{array}$$

а затем рассмотрим множество всех этих линейных карт:

$$\mathcal{L'}(\mathfrak{V},\mathbb{K}) = \mathcal{L'} = \Big\{ f \in \mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K}) | f: \mathfrak{V} \to \mathbb{K} \Big\}$$

а затем определить две бинарные операции:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} :\mathcal{L'}\times \mathcal{L'} &\to \mathcal{L'} \\ (f,g)&\mapsto \boxplus _{\mathfrak{Lin}'}(f,g) \equiv f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}'} :\mathbb{K}\times \mathcal{L'} &\to \mathcal{L'} \\ (\alpha,f)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin}'}(\alpha,f) \equiv \alpha \boxdot _{\mathfrak{Lin}'} f \end{array}$$

Теперь эти операции фактически определяют две карты, называемые:

Сумма ковекторов, определяемая как:

$$\begin{array}{rl} f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto (f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g)[v] := f[v] + _{\mathbb{K}} g[v] \end{array}$$

Скалярное умножение ковекторов, определяемое как:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}'} f:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto (\alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} f)[v] := \alpha \cdot_{\mathbb{K}}f[v] \end{array}$$

и, опять же, каждая из них должна удовлетворять условию линейности, чтобы стать линейной картой.

Тогда с помощью описанного выше механизма мы можем назвать множество$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K})$векторное пространство.

$$\mathfrak{Lin}'(\mathfrak{V},\mathbb{K}) \equiv \mathfrak{V}^{*} \equiv [\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}'},\boxdot_{\mathfrak{Lin}'}]$$

Это векторное пространство называется двойным векторным пространством. Элементы двойственного векторного пространства называются ковекторами.

$$* * *$$

Итак, мы определили, что такое вектор, линейная карта и ковектор. В частности, для векторов и ковекторов существует математический факт (относительно базиса векторного пространства и двойственного пространства), который позволяет нам записать элемент$\mathfrak{V}$(и$\mathfrak{V}^{*}$) в терминах линейной комбинации других векторов, называемых базисными векторами$\vec{e}_{\mu}$и базисные ковекторы$e'^{\nu}$:

Для векторов (также называемых контравариантными векторами) мы имеем:

$$\vec{v} = \sum _{\mu}v^{\mu} \boxdot _{\mathfrak{V}} \vec{e}_{\mu}$$

Для ковекторов (также называемых линейными функциональными, конвариантными векторами и линейной формой) мы имеем:

$$f'[v]= (\sum _{\nu}f_{\nu} \boxdot _{\mathfrak{V}} e'^{\nu})[v] \implies f= \sum _{\nu}f_{\nu} \boxdot _{\mathfrak{V}} e'^{\nu}$$

$$* * *$$

2) Что такое тензор?

Довольно часто тензоры определяют как объекты, которые имеют вполне предсказуемое поведение, называемое преобразованием компонентов по отношению к двум координатам;$x^{\gamma} \to x'^{\gamma}(x^{\gamma})$:

$$T'^{\mu}_{\nu} = \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{\nu}}T^{i}_{j}$$

где$T'^{\mu}_{\nu}$являются компонентами тензора T в координатах$x'^{\gamma}(x^{\gamma})$и, аналогично$T^{i}_{j}$являются компонентами одного и того же тензора$T$в координатах$x^{\gamma}$. И лес партиалов на самом деле означает «предсказуемое поведение»; они являются матрицами Якобиана или матрицами преобразования координат.

Итак, хорошо, у нас есть это определение тензора. Но что означает «Тензор Т »? Ну, чтобы ответить на этот вопрос, мы должны представить тензор как

$$T =T^{\mu}_{\nu}\boxdot (some "tensor" basis)$$

и какое-то "тензорное пространство".

Правда в том, что обе эти концепции хорошо определены.

$$* * *$$

Верный ответ на вопрос «что такое тензор?» заключается в том, что математический объект, называемый тензором, является просто элементом алгебраической структуры, называемой векторным пространством тензорного произведения (или просто тензорным произведением или тензорным пространством).

Но чтобы говорить о тензорах, нам нужно небольшое (необходимое) отступление о билинейности.

2.1) Билинейные карты

Из элементарной линейной алгебры хорошо известно понятие скалярного произведения. И даже до линейной алгебры в векторном исчислении вы наверняка изучали скалярное произведение$\vec{A} \cdot \vec{B}$. Но, опять же, из элементарной линейной алгебры вы поняли, что скалярное произведение — это всего лишь частный пример скалярного произведения. Но суть операции в том, что весь процесс имеет дело с двумя векторами (в данном случае для возврата скаляра).

В общем случае мы имеем, что скалярный продукт определяется как следующая карта:

$$\begin{array}{rl} \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ (v,w)&\mapsto \langle \cdot ,\cdot \rangle[(v,w)] \equiv \langle v ,w \rangle :=\cdot \end{array}$$

и внутренний продукт должен удовлетворять следующим свойствам:

$1) \langle v \boxplus _{\frak V} v' ,w \rangle = \langle v ,w \rangle \boxplus _{\mathbb{K}} \langle v' ,w \rangle$

$2) \langle v,w \boxplus _{\frak W} w' \rangle = \langle v ,w \rangle \boxplus _{\mathbb{K}} \langle v ,w' \rangle$

$3) \langle \alpha \boxdot _{\frak V} v , w \rangle = \alpha \boxdot _{\mathbb{K}} \langle v ,w \rangle$

$4) \langle v , \alpha \boxdot _{\frak W} w \rangle = \alpha \boxdot _{\mathbb{K} } \langle v ,w \rangle$

$5) \langle v ,w \rangle = \langle w ,v \rangle$

$6) \langle v ,v \rangle \geq 0_{\mathbb{K}}$

$7)$Если$\langle v ,v \rangle = 0_{\mathbb{K}} \implies v = 0_{\mathfrak{V}}$

Ну, эта конкретная карта показывает нам, со свойствами$1)$к$4)$билинейная природа карты, что означает, что вся карта линейна в каждом слоте. Другими словами, каждый слот определяет линейную карту.

$$\begin{array}{rl} \langle \_,\cdot \rangle :\mathfrak{V}&\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ v&\mapsto \langle \_,\cdot \rangle[v] \equiv \langle v ,\cdot \rangle :=\cdot \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \langle \cdot,\_ \rangle :\mathfrak{W}&\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ w&\mapsto \langle \cdot,\_ \rangle[w] \equiv \langle \cdot, w \rangle :=\cdot \end{array}$$

$$* * *$$

Итак, теперь мы можем определить новый тип объекта под названием «Билинейное преобразование» (или билинейная карта, билинейная функция) следующим образом:

$$\begin{array}{rl} B:\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto B[(v,w)] :=\cdot \end{array}$$

и билинейная карта должна удовлетворять следующим свойствам:

$1) B[(v \boxplus _{\frak V} v' ,w)] = B[(v ,w)] \rangle \boxplus _{\frak{X}} B(v' ,w)]$

$2) B[(v,w \boxplus _{\frak W} w')] = B[(v ,w)] \boxplus _{\frak{X}} B[(v ,w')]$

$3) B[(\alpha \boxdot _{\frak V} v , w)] = \alpha \boxdot _{\frak X}B[(v , w)]$

$4) B[(v,\alpha \boxdot _{\frak W} w)] = \alpha \boxdot _{\frak X}B[(v , w)]$

Теперь рассмотрим множество всех билинейных отображений:

$$\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W};\mathfrak{X})\equiv \mathcal{L}_{2} = \Big\{ B\in \mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W},\mathfrak{X}) | B: \mathfrak{V} \times \mathfrak{W} \to \mathfrak{X} \Big\}$$

а затем определить две новые бинарные операции:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}_{2}} :\mathcal{L}_{2}\times \mathcal{L}_{2} &\to \mathcal{L}_{2} \\ (B,M)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}}(B,M) \equiv B \boxplus_{\mathfrak{Lin_2}} M \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}_{2}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L}_{2} &\to \mathcal{L}_{2} \\ (\alpha,B)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}}(\alpha,B) \equiv \alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin_2}} B \end{array}$$

Теперь эти операции фактически определяют две карты, называемые:

Сумма билинейных карт, определяемая как:

$$\begin{array}{rl} B \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}} M:\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto (B \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}} M)[(v,w)] := B[(v,w)] \boxplus_{\mathfrak{X}} M[(v,w)] \end{array}$$

Скалярное умножение билинейных карт, определяемое как:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}} B:\mathfrak{V} \times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}} B)[(v,w)] := \alpha \boxdot_{\mathfrak{X}} B[(v,w)] \end{array}$$

и каждое из них должно удовлетворять условиям билинейности, чтобы стать билинейным отображением.

Тогда с помощью описанного выше механизма мы можем назвать множество$\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathfrak{X})$векторное пространство.

$$\mathfrak{Lin_{2}}(\mathfrak{V},\mathfrak{W};\mathfrak{X}) \equiv \mathfrak{Lin_{2}} \equiv [\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W};\mathfrak{X}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}},\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}}]$$

Это векторное пространство называется векторным пространством билинейных преобразований. И элементы называются (очевидно) билинейными преобразованиями или билинейными картами.

$$* * *$$

Рассмотрим теперь особый вид билинейной карты, определяемый как:

$$\begin{array}{rl} b:\mathfrak{V}\times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto b[(v,w)] := \cdot\end{array}$$

а затем рассмотрим множество всех этих билинейных отображений:

$$\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{V};\mathbb{K}) = \mathcal{L'}_{2} = \Big\{ b \in \mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{V},\mathbb{K}) | b: \mathfrak{V}\times \frak V \to \mathbb{K} \Big\}$$

а затем определить две новые бинарные операции:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin'}_{2}} :\mathcal{L'}_{2}\times \mathcal{L'}_{2} &\to \mathcal{L'}_{2} \\ (B,M)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}}(B,M) \equiv B \boxplus_{\mathfrak{Lin'_2}} M \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin'}_{2}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L'}_{2} &\to \mathcal{L'}_{2} \\ (\alpha,B)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}}(\alpha,B) \equiv \alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin'_2}} B \end{array}$$

Теперь эти операции фактически определяют две карты, называемые:

Сумма билинейных форм, определяемая как:

$$\begin{array}{rl} B \boxplus_{\mathfrak{Lin'}_{2}} M:\mathfrak{V}\times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (B \boxplus_{\mathfrak{Lin'_{2}}} M)[(v,w)] := B[(v,w)] \boxplus_{\mathfrak{K}} M[(v,w)] \end{array}$$

Скалярное умножение билинейных форм, определяемое как:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}} B:\mathfrak{V} \times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}} B)[(v,w)] := \alpha \boxdot_{\mathbb{K}} B[(v,w)] \end{array}$$

и, опять же, каждое из них должно удовлетворять условию билинейности, чтобы стать билинейным отображением.

Тогда с помощью описанного выше механизма мы можем назвать множество$\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K})$векторное пространство.

$$\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}) \equiv[\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V},\mathbb{K}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}'_{2}},\boxdot_{\mathfrak{Lin}'_{2}}]$$

Это векторное пространство не имеет особого известного названия, но элементы этого векторного пространства называются билинейными формами или билинейными функционалами .

$$* * *$$

Итак, после знакомства с концепцией билинейности и билинейных отображений путь к пониманию основной концепции тензоров почти пройден.

Определение: тензорное произведение — это пара:$(\mathfrak{T},\bar{\otimes})$.$\frak T$является векторным пространством и$\otimes$является билинейной операцией (функцией), которая удовлетворяет следующему «ограничению»:

$$B = L \circ \otimes$$

который является математическим символом коммутативной диаграммы:

Где$B$является билинейной картой (если другие виды конкретных свойств),$\otimes$это тензорная карта (которая является билинейной и ТОЛЬКО билинейной) и$L$является линейной картой.

Теперь, чтобы убедиться, что эта конструкция действительна, Стивен Роман (Advanced Linear Algebra, Springer, стр. 361-366) строит$\frak V \otimes \frak W$в терминах факторпространства:

$$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W} := \frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W})}}{\mathfrak{S}}$$

Где$\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$называется свободным векторным пространством$\frak{V}\times \frak{W}$, элементы которого имеют вид:

$$\sum^{N}_{i=1} r_{i}(u_{i},v_{i})$$

И$\mathfrak{S}$, подпространство$\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$которые натянуты на векторы этой формы:

$$\alpha(v,w)+\beta (v',w)-(\alpha v+\beta v',w)$$

$$\alpha (v,w)+\beta (v,w')-(v,\alpha w+\beta w')$$

Тогда элементы тензорных произведений действительно таковы:

$$\sum^{N}_{i=1} [\alpha_{i}(v_{i},w_{i}) + \mathfrak{S} ]$$

Которые называются классами эквивалентности. Довольно часто эквивалентные классы (элементы тензорного произведения, т.е. тензоры) переписывают как:

$$\sum^{N}_{i=1} [\alpha_{i}(v_{i},w_{i}) + \mathfrak{S}] = \sum^{N}_{i=1} v_{i}\otimes w_{i}$$

А теперь о тензорной карте.$\otimes$, Роман определяет следующим образом:

$$\begin{array}{rl} \otimes :\mathfrak{V} \times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{V} \otimes \mathfrak{W} \\ (v,w)&\mapsto \otimes[(v,w)] := v \otimes w \equiv (v,w) + \mathfrak{S} \end{array}$$

И затем мы доказываем, что тензорное отображение действительно билинейно и пара:

$$\Big(\frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W})}}{\mathfrak{S}}, \otimes \Big)$$

Является тензорным произведением.

$$* * *$$

Итак, с помощью этой факторной конструкции Роман показывает нам, что идея тензорного произведения верна и работает, а это означает, что определение этого нового векторного пространства, называемого тензорным произведением, с помощью механизма (и необходимости) универсального свойства вполне справедливо. .

Затем, если это нормально работает с этим частным пространством, просто нужно доказать для других типов векторных пространств, подчиняются ли они этому «универсальному механизму».

Из-за всего этого мы теперь можем ввести понятие тензора как полилинейного отображения с определениями (я дам ковариантное определение) [Classical Mechanics with Mathematica, Romano, Birkhaüser, pag20-22; Общая теория относительности, Wald, Chicago Press, стр. 20]:

Определение 1: ковариантный двухтензорный или тензор второго порядка (или (2,0)-тензор) является билинейной формой:

$$\begin{array}{rl} T :\mathfrak{V} \times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto T[(v,w)] := \cdot \end{array}$$

Так,$T$явно является членом$\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K})$

Определение 2: Тензорная карта:

$$\begin{array}{rl} \bar{\otimes} :\mathfrak{V}^{*} \times \mathfrak{V}^{*} &\to \mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}) \\ (v,w)&\mapsto \bar{\otimes}[(v,w)] \equiv f \bar{\otimes} g \end{array}$$

И тензорная карта определяет операцию тензорного произведения, определяемую как:

$$\begin{array}{rl} f\bar{\otimes}g :\mathfrak{V}\times \mathfrak{V}&\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (f \bar{\otimes} g)[(v,w)] := f[v]\boxdot_{\mathbb{K}}g[w] \end{array}$$

Теперь рассмотрим их как базисные векторы${e_{i}} \in \mathfrak{V}$.

У нас есть это$T$, ковариантный 2-тензор, является билинейной формой.

$$T[(v,w)] = T[(v^{i}e_{i},w^{j}e_{j})] = (v^{i}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{j})\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}'}T[(e_{i},e_{j})] \equiv (v^{i}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{j})\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}'}T_{ij}=$$

$$= v^{i}w^{j}T_{ij}$$

Но теперь рассмотрим базисные ковекторы${f^{i}} \in \mathfrak{V}^{*}$при заданном тензорном отображении, действующем в тех же векторах$(v,w)$:

$$(f^{i} \bar{\otimes} f^{j})[(v,w)] = f^{i}[v^{k}e_{k}]\boxdot_{\mathbb{K}}f^{j}[w^{m}e_{m}] = (v^{k}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{m})f^{i}[e_{k}]\boxdot_{\mathbb{K}}f^{j}[e_{m}] =$$ $$= (v^{k}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{m})\boxdot_{\mathbb{K}}(\delta^{i}_{k}\boxdot_{\mathbb{K}}\delta^{j}_{m})\equiv v^{k}w^{m}\delta^{i}_{k}\delta^{j}_{m} = v^{i}w^{j}$$

Следовательно, мы имеем правильно, что$(0,2)$-тензор можно записать как:

$$\{T\}[(v,w)] = \{v^{i}w^{j}T_{ij} \}[(v,w)] = \{f^{i} \bar{\otimes} f^{j}T_{ij} \}[(v,w)] \implies$$

$$T = T_{ij} \boxdot _{\mathfrak{Lin'_{2}}} f^{i}\bar{\otimes}f^{j} \equiv$$

$$T = T_{ij}f^{i}\bar{\otimes}f^{j}$$

И после всего этого ужасного текста можно сказать, что

i) Тензорное произведение ковариантных тензоров действительно таково:

$$V^{*}\otimes V^{*}\equiv \mathfrak{T}^{0}_{2}(\mathfrak{V}) \approx [\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}),\bar{\otimes}]$$

Я написал$\approx$нет$=$потому что если вы посмотрите на коммутативную диаграмму, вы обнаружите, что есть линейная карта$L$. Хорошо,$L$является изоморфизмом. Тогда схема такая:

ii) А (ковариантный)$(0,2)$-тензор можно записать как:

$$T = \sum_{\mu}\sum_{\nu}t_{\mu \nu} e^{\mu}\bar{\otimes}e^{\nu}$$

с определенными базисными векторами$e^{\mu}\bar{\otimes}e^{\nu}$который охватывает$\mathfrak{V}^{*}\otimes \mathfrak{V}^{*}$

3) Что такое спинор?

Итак, мы знаем, что такое вектор, ковектор, линейные и билинейные отображения и формы, а также тензоры. Действительно, вектор является элементом векторного пространства.$\mathfrak{V}$, линейная карта является членом$\mathfrak{Lin}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})$ковектор является элементом$\mathfrak{Lin'}(\mathfrak{V},\mathbb{K})$. Билинейная карта является членом$\mathfrak{Lin}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathfrak{X})$и билинейная форма является членом$\mathfrak{Lin'}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathbb{K})$.

Наконец, тензор является членом$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W}$(где бы ни было построение, здесь я представил два: факторпространства и полилинейные отображения), пространство, удовлетворяющее свойству универсальности.

Теперь я хотел бы спросить вас, что такое спинор? Чтобы ответить на мой вопрос, обратите внимание на весь мой текст, а это означает, что я хотел бы получить ответ только в области конечной размерности, полей (не колец) и векторных пространств (не модулей). Кроме того, если бы вы могли, ответ дружелюбный и интуитивно понятный, но в то же время довольно общий и строгий.