Вам нужно быть гораздо более осторожным, что обозначают «верхние» и «нижние» индексы и откуда они берутся. Я расскажу о двух разных «типах» верхних/нижних индексов, о которых вы говорите:

Тензорные индексы

Первый источник «объектов с индексами» — дифференциальная геометрия . На любом координатном патче$U\subset M$многообразия$M$с координатами$q : U \to \mathbb{R}^n$, сами координаты традиционно записываются "верхними" индексами$q^i$. На многообразии теперь есть два тесно связанных, но разных объекта, которые мы, естественно, хотим рассмотреть: векторные поля и дифференциальные формы . Один из способов определения касательного пространства в точке$q_0\in q(U)$(соответствует точке$p\in U$как$q(p) = q_0$представляет собой векторное пространство, натянутое на производные$\partial_i := \frac{\partial}{\partial q^i}\rvert_{q = q_0}$, индексы которого традиционно размещены ниже. Кокасательное пространство - это двойственное векторное пространство, натянутое на двойственный базис$\mathrm{d}q^i$определяется$\mathrm{d}q^i (\partial_j) = \delta^i_j$.

Теперь для любого векторного поля$V$, мы можем разложить его по базису как$V = v^i(q)\partial_i$для функций$v^i$, где действует соглашение о суммировании, т. е. мы суммируем по всем возможным значениям$i$. Это$v^i(q)$это то, что физик называет «вектором». При замене координат эти компоненты преобразуются по матрице Якоби преобразования координат. И наоборот, мы можем разложить дифференциальную форму как$\omega = \omega_i(q) \mathrm{d}q^i$, и это$\omega^i$которую физик обычно называет «формой». Эти преобразования обратной матрицей Якоби. векторы и ковекторы, а также дифференциальные формы и векторные поля суть априорно совершенно разные вещи и должны мыслиться как отдельные геометрические понятия.

Однако все запутано, потому что в физике мы часто имеем дело с (псевдо)римановым многообразием с метрическим тензором$g$который определяет так называемые музыкальные изоморфизмы между векторами и ковекторами, связывая 1-форму$g(v,-)$к векторному полю$v$. Оказавшись в этой настройке, мы можем свободно менять тип тензоров, и изначально различные понятия становятся полностью эквивалентными и взаимозаменяемыми в практических вычислениях.

На данный момент я хотел бы не согласиться с определенной частью вопроса:

В специальной теории относительности вводятся два вида индексов, ковариантные и контравариантные. Это, насколько я понимаю, исключительно для математической роскоши, т.е. записи выражений в кратких, не требующих пояснений обозначениях. Например, вместо записи метрики в виде$(Δs)^2=c^2(Δt)^2−(Δr)^2$можно написать$x^μx_μ$что является не только компактной записью, но и говорит нам, что это выражение лоренц-инвариантно. Но оба$x^μ$и$x_μ$, представляют те же объекты: набор из четырех координат$(ct,x,y,z)$.

Хотя это очень близко к практическому использованию, формально это просто бессмысленно именно потому, что геометрические объекты не рассматриваются должным образом. Если$x^\mu$есть набор координат , то нет такой вещи, как$x_\mu$- нельзя понизить индекс координаты, потому что она не является векторным или тензорным полем, и поэтому на ней не определен музыкальный изоморфизм. Метрический тензор, закодированный в$\mathrm{d} s^2$(или$\Delta s$, как пишет вопрос) не действует на координаты , действует на касательные векторы. «Расстояние» между двумя точками определяется экстремумом функционала

$$L[\gamma] = \int_\gamma \sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})}\mathrm{d}\tau$$ для дорожек $\gamma$между двумя точками. Так как кратчайшие линии, т. е. геодезические, в пространстве Минковского являются прямыми линиями, то получается, что в этом частном случае выражение для расстояния между точками координат $x^\mu$и $0$дается, действуя так, как если бы $x^\mu$является вектором и вычисляет его норму с помощью метрического тензора, заданного $\mathrm{d}s^2$выражение. Однако делать это напрямую формально неправильно, потому что вы не можете применить псевдориманову метрику напрямую к точкам таким образом. Так что в этом случае вопрос вдвойне неверен: в принципе имеет значение, где расположены индексы, и вы даже не можете написать что-то вроде $x_\mu$для набора координат.

---

Групповые индексы

Использование индексов в теории групп совершенно иное, и априори не существует понятия «верхний» или «нижний» индекс. Учитывая группу$G$и представление$\rho : G \to \mathrm{GL}(V)$некоторого векторного пространства$V$, конечно, можно выбрать базис$v_i$из$V$и запишите любой элемент группы в виде матрицы$\rho(g)_{ij}$.

Понятие верхнего и нижнего индексов используется здесь для групп, где все или большинство неприводимых представлений могут быть построены из тензорных произведений фундаментального представления: векторы в фундаментальном представлении объявляются имеющими компоненты с индексами$v_i$а в сопряженном фундаментальном представлении иметь компоненты с$v^i$(или наоборот) и тогда можно написать$T^{\mu_1\dots\mu_m}_{\nu_1\dots\nu_n}$для обозначения элемента$\bar{V}^{\otimes m}\otimes V^{\otimes n}$. Это сокращение полезно затем сделать вывод, какая комбинация индексов и их (анти-) симметризация соответствуют неприводимым представлениям, см., например, этот ответ .

Опять же, верхний и нижний индексы связаны, но не обозначают одни и те же объекты, и они сигнализируют о различном поведении преобразования в группе (фундаментальные векторы преобразуются$\rho(g)$в то время как антифундаментальные векторы преобразуются$\bar{\rho(g)}$), точно так же, как индексы в геометрическом случае сигнализируют о другом поведении преобразования при изменении координат.