Разница между декартовым произведением ××\times и тензорным произведением ⊗⊗\otimes на группах

I) Суть в том, что обычно мы рассматриваем только тензорные произведения $V \otimes W$векторных пространств $V$,$W$(в отличие от общих наборов $V$,$W$). Но группы (скажем$G$,$H$) часто не являются векторными пространствами. Если рассматривать только тензорные произведения векторных пространств, то объект$G \otimes H$ерунда с математической точки зрения.

С дальнейшими предположениями о группах$G$и$H$, иногда можно определить тензорное произведение$G \otimes H$групп, см. мой ответ Phys.SE здесь и ссылки в нем.

II) Если$V$и$W$два векторных пространства, то тензорное произведение$V \otimes W$снова является векторным пространством. Также прямое или декартово произведение$V\times W$векторных пространств изоморфна прямой сумме $V \oplus W$векторных пространств, которое снова является векторным пространством.

На самом деле, если$V$является пространством представления для группы$G$, и$W$является пространством представления для группы$H$, то оба тензорных произведения$V\otimes W$и прямая сумма$V\oplus W$являются пространствами представления для декартовой группы произведений$G\times H$.

(Пространство представления прямой суммы$V\oplus W\cong (V\otimes \mathbb{F}) \oplus(\mathbb{F}\otimes W)$для декартовой группы продуктов$G\times H$можно рассматривать как прямую сумму двух$G\times H$пространства представления и, следовательно, является составным понятием. Напомним, что любая группа имеет тривиальное представление .)

Это взаимодействие между тензорным произведением$V\otimes W$и декартово произведение$G\times H$может убедить некоторых авторов использовать вводящую в заблуждение нотацию$G\otimes H$для декартова произведения$G\times H$. К сожалению, это часто происходит в физике и в теории категорий .

III) В отличие от групп, обратите внимание, что алгебры Ли (скажем,$\mathfrak{g}$,$\mathfrak{h}$) всегда являются векторными пространствами, поэтому тензорные произведения$\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{h}$алгебр Ли имеют смысл. Однако из-за возведения в степень это обычно прямая сумма $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$алгебр Ли, что актуально. Если$\exp:\mathfrak{g}\to G$и$\exp:\mathfrak{h}\to H$обозначают экспоненциальные отображения , тогда$\exp:\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}\to G\times H$.