Можем ли мы визуализировать фермионы стандартной модели в виде 5-мерной матрицы с калибровкой только первых 3-х измерений?

Фермионы стандартной модели обычно представляются столбцами. Однако столбец может иметь различный смысл в зависимости от матричного оператора, действующего на него. Например, «столбец» спинора Дирака и «столбец» левого слабого дублета — это столбцы двух разных типов.

В свете этого, почему бы нам не визуализировать фермионы стандартной модели (все 3 поколения фермионов) как 5-мерную матрицу с различными матрицами, действующими в отдельных измерениях (рассматривая всю матрицу как единый «столбец» вдоль заданного измерения? , где каждый элемент «столбца» на самом деле является 4-мерной матрицей). Интересно отметить, что первые 3 измерения (спин, изоспин и цвет) являются калибровочными (при условии, что гравитация/общая теория относительности трактуются как локальная калибровочная теория Лоренца со спиновой связью в качестве калибровочного поля), тогда как последние 2 измерения (хиральность и поколения) нет .

Эти 5 измерений и соответствующие им операторные матрицы (The U ( 1 ) Д взаимодействие гиперзаряда не меняет местами столбцы и здесь не обсуждается. ):

  1. Измерение X: вращение вверх/вниз (на которое действует взаимодействие 6-спинового соединения (которое имеет значение в калибровочной теории гравитации Лоренца/Пуанкаре/dS/AdS) антисимметричный Лоренц С О ( 1 , 3 ) матрицы γ мю γ ν )
  2. Измерение Y: изоспин, вверх/вниз (влияет на 3 слабых взаимодействия С U ( 2 ) л матрицы, только для левых спиноров)
  3. Измерение Z: цвет, синий/зеленый/красный/лептон (воздействует на 8 сильных взаимодействий С U ( 3 ) с матрицы, лептоны можно определить как четвертый цвет, который инвариантен относительно С U ( 3 ) с )
  4. Измерение C: хиральность, левосторонняя/правосторонняя (перевернутая на 4 γ мю матрицы или любые их нечетные произведения в представлении Вейля, а четные произведения γ мю матрицы не переворачивают киральность (например, матрицы Лоренца γ мю γ ν упомянутый ранее). Массовый термин Дирака (или его воплощение Юкавы) м ψ ¯ ψ "=" м ψ † γ 0 ψ является единственным лагранжевым членом стандартной модели с нечетным числом γ мю матрицы ( γ 0 ), который смешивает левые и правые фермионы. С другой стороны, массовый член Майораны не смешивает хиральность, поскольку зарядовое сопряжение ψ с в М ψ ¯ ψ с предполагает дополнительный γ мю матрица.)
  5. Измерение F: семья/поколение, 1/2/3 (воздействие с помощью двух матриц смешивания ароматов CKM и PMNS)

Всего имеется

2 ( с п я н , ты п / д о ж н ) * 2 ( я с о с п я н , ты п / д о ж н ) * 4 ( с о л о р , б л ты е / г р е е н / р е д / л е п т о н ) * 2 ( с час я р а л я т у , л е ф т / р я г час т ) * 3 ( г е н е р а т я о н , 1 / 2 / 3 ) "=" 96
сложные элементы (с учетом правых нейтрино) в 5-мерной матрице .

Ответы (1)

Мы уже делаем именно это. Как вы думаете, что еще такое обозначение индекса?

В информатике матрица представляет собой двумерный массив, Aэлементы которого равны A[i][j]. В физике ранг 2 тензор Ф , такой как тензор электромагнитного поля, является объектом, компоненты которого равны Ф мю ν .

Двумерный массив действительно хранится в памяти как одномерный массив, но наличие двух индексов может быть концептуально полезным. Точно так же мы могли бы определить «супериндекс» с 16 значениями, чтобы Ф является гигантским вектором, но гораздо лучше придерживаться двух. Эти два слота сокращаются с другими индексами для формирования тензорных выражений.

По мере того, как наши поля получают больше свойств, мы просто добавляем больше индексов. Например, левые кварки Стандартной модели должны иметь индекс цвета, индекс положения, индекс спина, индекс изоспина и индекс генерации. Если бы мы хотели быть предельно явными, мы могли бы записать это кварковое поле как

Вопрос а Икс α я А .
Для вычислений это работает концептуально как ранг 5 тензор или массив 5D в информатике, но все индексы находятся в разных пространствах.

Это хорошее упражнение — пройтись по лагранжиану Стандартной модели и вернуть все индексы, чтобы посмотреть, как все совпадет. Однако, как только вы сделаете это один раз, вы поймете, что это невероятно раздражает и совсем не стоит более явных обозначений. Например, вам никогда не понадобится индекс позиции, поскольку все термины являются локальными, поэтому все они имеют одинаковое значение. Икс . Точно так же почти для всех терминов очевидно, как сокращаются индексы цвета и так далее. Нам редко приходится делать более одного или двух типов индексов явными одновременно.

Даже обзоры операторов размерности шесть в СМ, которые довольно сложны, ухитряются адаптировать свои обозначения, чтобы подавить большинство индексов. Формализм суперполя для SUSY был создан, чтобы скрыть еще больше индексов. Я рекомендую просто помнить, где находятся подводные камни (на самом деле их не так много, меньше 10 точно) и наслаждаться упрощенными обозначениями, которые создали поколения физиков до нас.

Можем ли мы визуализировать фермионы стандартной модели в виде 5-мерной матрицы с калибровкой только первых 3-х измерений?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v