Может ли масса быть просто светом, движущимся в другом измерении?

Чтобы проиллюстрировать трудности, связанные с таким подходом, приведу пример. Одним из способов получения модели игрушки в соответствии с вашими требованиями является теория Калуцы-Клейна, которая предполагает, что пространство-время является 5-мерным, и которая получает уравнения Максвелла (классическая электродинамика) из уравнений поля Эйнштейна в 5D.

Причина, по которой я говорю «вид», заключается в том, что это зависит от того, какими буквами алфавита вы обозначите переменные в полученных уравнениях. Тот факт, что некоторые уравнения синтетической теории формально соответствуют уравнениям, которые, как уже известно, удовлетворяют экспериментам, не означает автоматически, что эта теория полезна. Только если теория не «предсказывает» множество совершенно произвольных вещей, которые никогда не наблюдались, а предсказывает то, что уже известно, ее можно считать полезной.

Чтобы дать вам быстрый доступ к тому, что здесь предсказывает теория Калуцы-Клейна, давайте рассмотрим частный случай, когда пятимерное пространство-время (приблизительно) полностью плоское (т. е. нет кривизны/гравитации), а одно из его измерений «свернуто». в небольшом масштабе. Вы можете представить 5-е измерение вместе с каким-то другим пространственным измерением (например, «х») как лист бумаги, который вы буквально руками сворачиваете в трубочку. Поскольку при этом нигде не требуется, чтобы бумага растягивалась или сжималась, трубка остается геометрически плоской.

Затем свертывание 5-го измерения эквивалентно наличию измерения с конечной протяженностью и периодическими граничными условиями (из-за трубчатой ​​топологии). Если вы хотите исследовать, что происходит с (безмассовой) волной, которая распространяется в этом 5D пространстве-времени, вы можете, например, записать уравнение Даламбера для волновой функции$\psi$, который можно рассматривать как представляющий один компонент электромагнитных волн (например, напряженность электрического поля в направлении x):

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \psi}{\partial w^2}$$ где$w$обозначает координату в 5-м измерении, и$x$может представлять одно из обычных макроскопических пространственных измерений. Тот факт, что$w$-член в правой части имеет положительный знак (он получил бы и отрицательный знак, если бы мы записали его в левой части) указывает, что это дополнительное пространственное измерение (в отличие от дополнительного временного измерения) .

Теперь из-за периодических граничных условий значение координаты$w+L$эквивалентно$w$где$L$это окружность свернутого 5-го измерения. Для волновой функции$\psi$это означает

$$\psi(w+L)=\psi(w)$$ Функцию с этим периодическим свойством обычно можно записать в виде ряда Фурье: $$\psi(w)=\sum_{k=-\infty}^\infty \psi_k \cdot \exp(i 2\pi k w/L)$$ Рассмотрим только одну компоненту этого ряда Фурье, например $$\psi(w)=\psi_{k_0} \cdot \exp(i 2\pi k_0 w/L)$$ Тогда производная второго порядка в правой части волнового уравнения принимает вид $$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \psi}{\partial w^2}=-\frac{4\pi^2 k_0^2}{L^2}\psi$$ Множитель в правой части перед$\psi$это то, что называется собственным значением (в данном случае производной второго порядка при предполагаемых периодических граничных условиях). Звучит неплохо, собственные значения... квантовая механика... кажется, мы на правильном пути. Итак, давайте посмотрим, куда нас может завести этот подход в отношении массы.

До сих пор мы рассматривали только безмассовые частицы («свет»). Одним из квантово-механических уравнений, которое могло бы релятивистски описывать массивные частицы, является уравнение Клейна-Гордона, которое

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$$ Если мы сравним наше безмассовое волновое уравнение в 5D с уравнением Клейна-Гордона, то станет довольно очевидным, что мы «должны» идентифицировать массовый член в соответствии с $$\frac{m^2c^2}{\hbar^2}=\frac{4\pi^2 k_0^2}{L^2}$$ или наконец $$m=k_0\frac{h}{cL}$$ Мы идентифицировали массу как результат конечной окружности свернутого измерения! И более того, он делает то, что, по вашему мнению, должен делать: если внимательно рассмотреть, что делает вышеприведенная фурье-составляющая части волновой функции, то вы увидите, что она вращается в пятом измерении, а если есть движение и в других пространственных измерениях , это круговое движение станет движением по спирали со скоростью света в 5D (поскольку мы начали с волнового уравнения, в этом нет никаких сомнений). Если мы посмотрим на это спиралевидное движение макроскопически, мы будем слепы к маленькому дополнительному измерению и увидим только усредненное движение в обычных измерениях, которое будет иметь скорость$<c$.

Еще один интересный момент по этому поводу заключается в том, что$L$можно считать комптоновской длиной волны частицы с массой$m$, по крайней мере для$k_0=1$. Если это не звучит интересно, то что? Но ждать,$k_0=1$? И что насчет$k_0=2,3,\dots$? Если$k_0=1$будет представлять электрон (и, вероятно,$k_0=-1$позитрон, да!), то что представляют собой более высокие целые числа? Ох! Частицы с массой, вдвое или втрое превышающей электрон, просто не существует!

Этот целочисленный спектр бесконечного числа масс/частиц называется башней Калуцы-Клейна. Это показывает, что наивная интерпретация, казалось бы, соответствующих уравнений в игрушечных моделях может быть проблематичной. Как физик-теоретик, вы обязаны присвоить значение каждой величине в новой модели, что позволит проверить ее экспериментально.

И проблемы даже не останавливаются на башне Калуца-Кляйн. Следующий вопрос: почему существует свернутое измерение длины$L$в первую очередь? Ну, это, вероятно, можно объяснить граничными условиями Вселенной вокруг нас («трубка входит, трубка выходит»). Но электроны — это фермионы, и они удовлетворяют даже не уравнению Клейна-Гордона (как предполагалось выше), а скорее уравнению Дирака. Более того, мы предположили, что волна, которая распространяется в 5-е измерение и тем самым приобретает массу, это свет, а свет (фотоны) на самом деле безмассов. По крайней мере, здесь мы могли бы попытаться схитрить, сказав, что фотон представлен компонентом$k_0=0$который не имеет массы и, следовательно, всегда движется со скоростью света. Затем, наконец, у нас есть более одной известной элементарной частицы, помимо электрона, так что это, вероятно, не облегчает моделирование всех их дополнительными измерениями и одновременное решение всех поставленных выше вопросов.

И так далее и тому подобное. Вот почему на сегодняшний день никто не может утверждать, что нашел что-то лучшее, чем стандартная модель, в которой массы (точнее, константы связи) более или менее заложены изначально.

Позволять$P^M= (p^\mu, m)$где$\mu$является пространственно-временным индексом в$d$размеры и$M$в$d+1$размеры. Если$P$является светоподобным вектором импульса, то$P^2 = p^2 - m^2 = 0$, и мы видим, что$p^2=m^2$представляет собой массивный импульс на оболочке в$d$размеры. (Может быть, ваш вопрос возник из-за этого наблюдения?)

Таким образом, использование светоподобного импульса более высокого измерения для создания массивного импульса является стандартным методом в математической физике и называется уменьшением размерности. Например, можно упростить расчеты, задав массивные значения.$d$-мерные задачи как безмассовые многомерные. Мой опыт связан с изучением амплитуд рассеяния в КТП, где легче работать с амплитудами безмассовых частиц.

Другие ответы касались того, является ли это хорошей моделью для природы, поэтому я не буду это комментировать. Я подумал, что будет уместно отметить, что этот метод все еще используется независимо от физической интерпретации.

Редактировать; Чтобы более четко проиллюстрировать, как мой первый абзац относится к вопросу, позвольте$v^\mu = (v^0, v^i)$быть времениподобным 4-вектором в метрической сигнатуре$(+---)$. Тогда мы видим, что

$$v^2 = (v^0)^2 - \sum_{i=1}^3(v^i)^2 = c^2.$$ Если мы определим$v^4 = c$то мы можем переместить$c^2$на другую сторону и напиши что $$(v^0)^2 - \sum_{i=1}^4(v^i)^2 = 0,$$ который выглядит как отношение на оболочке$V^2=0$для безмассового 5-вектора с компонентами$V^M = (v^0, v^i,c)$в метрической подписи$(+----)$. (Умножить на$m$и перейти к натуральным единицам с$c=1$чтобы восстановить мое утверждение с точки зрения импульсов)

Эти размеры не могут быть большими, поскольку мы могли бы заметить влияние, например, на орбиты планет. Сила уменьшается с расстоянием как степень, которая на единицу меньше количества измерений.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse-square_law

Эти размеры не могут быть в масштабе существующих частиц, поскольку мы заметили бы недостающую энергию в наших экспериментах с коллайдером, если бы частицы отталкивались в этих измерениях, когда они проходят через детектор.

Эти размеры могут быть значительно меньше, у нас не было бы возможности обнаружить разницу.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/String_theory

Но тогда, если мы не можем ничего достоверно сказать об этом, действительно ли стоит начинать интерес к физике с такой темы?

https://www.scientificamerican.com/article/is-string-theory-science/