Может ли определение быть существованием (в математике)?

Набор omega , как указывает комментарий к этому вопросу , может быть определен как наименьший набор, который закрыт последовательностью и включает пустой набор.

Этого достаточно, чтобы определить его однозначно, но чтобы его найти, то есть доказать, что он существует, надо использовать первую аксиому бесконечности в ZFC .

Таким образом, оказывается, что определение не есть существование.

Но это кажется не совсем правильным. Ведь аксиома бесконечности была введена в ZFC таким образом, что показанный выше аргумент может иметь экзистенциальное значение.

В этом направлении мысли кажется, что определения достаточно для существования.

Это правильно?

Я бы сказал, что нет, и указал бы на наше связное понимание и опыт математической бесконечности, которая двойственно сгущается в определение и аксиому.

Это тоже правильно?

(Это, как мне кажется, имеет определенные косвенные отношения с различными формами онтологических аргументов Бога, в которые я не хочу входить здесь).

(Это также, по-видимому, имеет некоторое сходство с понятием сущности, предшествующей существованию).

Извините, я не понимаю вопроса. Есть вопрос: Does the fact that some entity can be defined entail that that entity exists?если да, то ответ - нет. Единорог — это лошадь с рогом, но таких не бывает. Или, возможно, вопрос: Are there any things which, by definition, exist?там ответ менее ясен. Ансельм, например, лихо утверждал, что Бог был таким существом, но его доказательство спорно, как, я уверен, вы знаете.
Я не сказал об этом в вопросе, но его объем находится в пределах математики, так что это исключит вашего вымышленного единорога. Я отредактирую вопрос соответственно.
а что касается вашего второго комментария, то конечно - поэтому и добавил краткую заметку о нотологическом доказательстве Бога, а также предшествующей сущности сущности.

Ответы (3)

Теории множеств не должны постулировать априорное существование каких-либо объектов или структур. ZFC, однако, постулирует существование пустого множества (оно равно нулю) и своего рода функции-наследника, основанной на пустом множестве в качестве отправной точки. В результирующем наборе может быть бесконечно много ненужных терминов, которые необходимо отобрать с помощью аксиомы разделения (подмножества), оставив только набор натуральных чисел, т. е. подмножество, удовлетворяющее аксиомам Пеано.

Вы также можете просто постулировать существование некоего дедекиндовского бесконечного множества вне теории множеств — не слишком сильно полагаясь на веру. (Если бы такого набора не существовало, Вселенная была бы действительно очень унылым местом.) Тогда вы можете извлечь из него подмножество, удовлетворяющее PA.

Показав существование множества, удовлетворяющего PA, одним из этих способов, вы будете вполне оправданы, начав свое развитие теории чисел и анализа с простого определения натуральных чисел, используя PA.

Я не согласен с тем, что «теории множеств не должны постулировать априорное существование каких-либо объектов или структур». Говоря современным языком, мы интерпретируем теорию как «дискурсивную вселенную», которая имеет непустую область. Таким образом, если ZFC непротиворечива , у нее есть модель со «свойствами», которые удовлетворяют аксиомам ZFC. Таким образом, вселенная этих моделей должна содержать «пустое множество», бесконечное множество и т. д. Основой этих моделей являются наборы .
@MauroALLEGRANZA Слишком много ненужных уровней абстракции? Я верю, что у вас может быть рабочая теория множеств, которую я описываю. Это основа упрощенной версии ZFC, которую я использую в своей программе DC Proof. При этом я могу с некоторой уверенностью сказать, что вы, вероятно , можете построить действительные числа, используя аксиомы Пеано в качестве исходной посылки. (Огромный проект, требующий десятков тысяч строк формального доказательства, из которых я выполнил примерно 3/4.)

В логике и математике : НЕТ

Рассмотрим хорошо известный парадокс Рассела : мы (пытаемся) определить множество R , удовлетворяющее определенному условию, только для того, чтобы доказать противоречие. Вывод: этого множества не существует.

Рассмотрим «парадигматический» случай, подобный пустому множеству в ZF.

Сначала докажем, что множество без элементов существует, затем добавим в язык теории новый символ (индивидуальную константу ), обозначающий его.

Все "онтологические" умозаключения вам по плечу...

Однако ключевая проблема здесь — непоследовательность . Если вы используете паранепротиворечивую логику, вы действительно можете определить такой набор, а также доказать некоторые вещи о нем. Я думаю, вопрос, который я задаю, лежит где-то в философии формализма.
@MoziburUllah - я думаю, что вы «ускользаете» от проблемы. Насколько мне известно, паранепротиворечивая теория множеств может доказать существование множества Рассела; но его по-прежнему интересует существование моделей (см., например, Грег Рестолл, Заметки о наивной теории множеств в LP (1992) или Росс Брэди, Простая непротиворечивость теории множеств, основанной на логике CSQ (1983), оба в NDJouFormLog ) . Мы можем отделить согласованность от существования модели , но проблема остается. Когда в ZF мы формулируем аксиому бесконечности , мы не создаем по указанию бесконечное множество. 1/2
Мы только ограничиваем класс возможных моделей моделями с бесконечной областью. Но все же спрашиваем: есть ли такие модели? Определения бесконечного множества недостаточно, чтобы сделать вывод о существовании бесконечного множества. 2/2

В обычной математике (выше уровня теории множеств) стандартной процедурой является определение объекта, а затем демонстрация того, что по крайней мере один такой объект существует .

Например, мы определяем группу как набор с бинарной операцией, удовлетворяющей тому-то и тому-то. Следующее, что мы делаем, — это даем несколько примеров групп: целые числа при сложении, ненулевые действительные числа при умножении, симметрии кровати. Горничные в отеле «Гильберт» знакомы с ним.

В этом вся цель, например, дедекиндовской конструкции разреза действительных чисел. Никто никогда не использует его. Один раз видишь и забываешь. Почему это важно?

Это важно, потому что если мы определим действительные числа как архимедово полное упорядоченное поле, вы сможете провести весь реальный анализ с помощью этих аксиом. Это все, что вам нужно.

Но вы могли бы построить весь настоящий анализ из этих аксиом, и вы бы не знали, существует ли такой набор. Итак, всего один раз вы возвращаетесь к основам и показываете, как, учитывая аксиомы теории множеств, вы можете построить множество, обладающее этими свойствами.

Как только вы это сделаете, вы можете просто использовать аксиомы действительных чисел. Вы никогда больше не заботитесь о доказательстве существования.

Но важно предоставить доказательство существования вместе с определением. Я мог бы определить пурпурный единорог как фиолетового единорога. Я мог бы описать биологию пурпурного единорога и написать книги о разведении пурпурных единорогов. Но все это было бы пустым. Нет объекта, подходящего под определение.

Доказательства существования обязательны.

Я не уверен, что понимаю ваш аргумент. 1) Вы говорите: «Начните с аксиом архимедова полного упорядоченного поля [назовем это: А-аксиомы] и с их помощью развивайте реальный анализ». Но когда вы говорите: "и вы бы не знали, есть ли такой набор"; ты имеешь в виду: настоящие ? Но вещественные числа — это элементы в области каждой модели аксиом архимедовых полных упорядоченных полей. 2) Когда вы говорите: «Вы возвращаетесь к основам и показываете, как, учитывая аксиомы теории множеств, вы можете построить множество [я полагаю, удовлетворяющее А-аксиомам], обладающее этими свойствами», вы доказываете, что... 1 /2
... в области каждой модели, удовлетворяющей аксиомам теории множеств, есть объекты, удовлетворяющие А-аксиомам. В чем "существенная" разница? Почему мы имеем право «никогда больше не заботиться о доказательствах существования»? Мы «свели» существование действительных чисел к существованию множеств , и это огромный шаг вперед для математики, но с «онтологической» или «эпистемологической» точки зрения мне кажется, что мы не добились реального прогресса. Определив вещественные числа как «специальные множества», мы обходимся без доказательства «существования» ?2/2
@Mauro ALLEGRANZA Это мой пример фиолетового единорога. Я могу записать аксиомы для вещественных чисел. Но что, если такого объекта, удовлетворяющего этим аксиомам, не существует? Тогда все, что я доказываю о реалах, бесполезно. Откуда вы знаете, что существует ЛЮБОЙ математический объект, удовлетворяющий этим аксиомам? Нам нужно доказательство существования. Конечно, мы не показали абсолютного существования... только существование относительно аксиом теории множеств. Для работающих математиков этого достаточно. Если мы верим в множества, то мы имеем право верить в вещественные числа.
Может ли определение быть существованием (в математике)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v