У меня следующий, довольно наивный вопрос:
В какой степени можно разумно сравнить априорное существование математических объектов с кажущимся апостериорным существованием объектов, установленным, например, языком программирования?
Чтобы уточнить:
При работе с логикой первого порядка часто навязывают набор аксиом, а затем предполагают в метатеории априорное существование некоторого дискурсивного универсума, удовлетворяющего аксиомам, а именно модели, чтобы привязать семантику. В частности, существование такой платонической вселенной необходимо установлено априори.
С другой стороны, при работе, например, с языком программирования используются определенные примитивы, с помощью которых можно генерировать «новые» интересующие объекты, например, новые конфигурации строк или новые конфигурации определенных систем в автоматах. Результирующие конфигурации такой системы, по-видимому, существуют апостериорно.
Тогда мой вопрос заключается в том, в какой степени можно разумно сравнивать эти два понятия существования? В каком смысле одна система может проявлять понятие существования в другой? Действительно ли математика предполагает априорное существование абстрактных объектов, в то время как апостериорное существование объектов в вычислительном языке, как указано выше, является просто физическим воплощением всех возможных конфигураций, доступных компьютеру априорно?
Или дело в том, что для сравнения этих представлений о существовании, если мы хотим смоделировать некую вселенную, описывающую динамику вычислительной системы, мы требуем, чтобы она была закрыта для всех ее встроенных функций, и в этом смысле все возможные конфигурации существуют априори? Каково соответствующее понятие существования внутри вычислительной системы, играющей роль платоновской вселенной? Существует ли он априори или должен быть явно задан в результате вычислительного процесса? (Вместо этого можно сформулировать вопрос в терминах физической вселенной, но ограничение вычислительной системой накладывает более четкие ограничения.)
В логике первого порядка мы не предполагаем существование какой-либо модели, мы проводим количественную оценку всех возможных существующих моделей. Если мы показываем, что что-то следует из наших аксиом, это означает, что все модели, удовлетворяющие нашим аксиомам, также удовлетворяют заключению. Если по какой-то причине такой модели не существует (из-за несогласованности аксиом), то наше доказательство остается верным, просто, может быть, не очень полезным (оно все же может быть полезным, если доказательство можно применить к измененным, непротиворечивым аксиомам).
Джеффри Томас