Преобразование Лоренца гамма-матриц γμγμ\gamma^{\mu}

Я думаю, что самый простой способ понять это — сказать, что гамма-матрицы не трансформируются. Другими словами, тот факт, что они несут векторный индекс, не означает, что они образуют четырехвектор. Это аналогично тому, как работают матрицы Паули в обычной квантовой механике, так что позвольте мне немного поговорить об этом.

Предположим, у вас есть спин$1/2$частица в некотором состоянии$|\psi\rangle$. Вы можете рассчитать среднее значение$\sigma_x$при выполнении$\langle \psi | \sigma_x | \psi\rangle$. Теперь предположим, что вы поворачиваете свою частицу на угол$\theta$вокруг$z$-ось. (Предупреждение: вероятность того, что мои знаки неверны, составляет около 50 %). Теперь вы описываете свою частицу с помощью другого кета, заданного формулой$|\psi'\rangle = \exp(-i \sigma_z \theta /2)$. Помните, что мы оставляем координаты фиксированными и вращаем систему, как это обычно делается в квантовой механике. Теперь ожидаемое значение определяется выражением

Есть изящная теорема, которую не так уж сложно доказать, которая утверждает, что

Таким образом, оказывается, что математическое ожидание для повернутой системы также определяется выражением$\langle \psi |\, \cos \theta\, \sigma_x -\sin \theta\, \sigma_y \, |\psi\rangle = \cos \theta\, \langle \sigma_x \rangle - \sin \theta\, \langle \sigma_y \rangle$. Это как если бы мы оставили нашу частицу в покое и повернули матрицы Паули. Но обратите внимание, что если мы применим вращение к$|\psi\rangle$, то матрицы не трогаем. Кроме того, я никогда не говорил, что трансформировал матрицы. Я просто преобразовал состояние, а потом обнаружил, что могу оставить его в покое и вращать матрицы.

Аналогичная ситуация со спинором Дирака. Аналогичное тождество состоит в том, что$S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu} = \gamma^\nu$. Это просто то, что верно; про трансформацию никто ничего не говорил$\gamma^\mu$. Нет никаких$\gamma^\mu \to \dots$здесь.

Теперь возьмем уравнение Дирака,$(i \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0$и применить преобразование Лоренца. На этот раз я изменю координаты вместо усиления системы, но особой разницы нет. Допустим, у нас есть новые координаты, заданные$x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu$, и мы хотим увидеть, выглядит ли уравнение Дирака одинаково в этих координатах. Поле$\psi'$как видно в$x'^\mu$кадр дается$\psi' = S(\Lambda) \psi \iff \psi = S^{-1}(\Lambda) \psi'$, а производные связаны соотношением$\partial_\mu = \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu$. Подключаем получаем$(i\gamma^\mu \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu-m) S^{-1}(\Lambda)\psi' = 0$, что на самом деле не похоже на наше исходное уравнение. Но давайте умножим слева на$S(\Lambda)$.$m$является скаляром, поэтому$S$проходит прямо через него и отменяется с помощью$S^{-1}$. И в первом слагаемом получаем$S(\Lambda)\gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu}$, что, согласно нашему надежному тождеству, всего лишь$\gamma^\nu$. Тогда наше уравнение упрощается до

Это то же уравнение, но записанное в заштрихованной рамке. Обратите внимание, что гамма-матрицы такие же, как и раньше; когда вы в классе и учитель записывает их на доске, вам не нужно спрашивать, в какой системе координат они действительны. Все используют одни и те же гамма-матрицы. На самом деле они не являются четырехвекторами, но их «закон преобразования» гарантирует, что все, что написано, как если бы они были четырехвекторами, является лоренц-инвариантным, пока присутствуют соответствующие спиноры.

Гамма-матрицы не меняются, если не применить изменение представления (например, киральное -> стандартное) вместе с преобразованием Лоренца. Напомним, что уравнение Дирака можно записать в любой системе отсчета с гамма-матрицами в одном и том же (например, киральном) представлении. Если вы измените их представление с помощью обратимой матрицы$\gamma^\mu \to S\gamma^\mu S^{-1}$(что не является преобразованием Лоренца, т. е. скаляром в этом смысле) спинор также преобразуется посредством S:$\Psi \to S\Psi$. Это источник путаницы:$S=I$тогда ваше уравнение

следует читать как

Я надеюсь, что это помогло изгнать беспорядок.

Проблема здесь только в плохой нотации.

$γ$представляет собой линейную инъекцию из$\mathbb{R}^{3,1}$к алгебре Клиффорда$\mathbb{R}^{3,1}$, который переводит каждый вектор в себя. Если вы поклонник нотации абстрактного индекса, он должен иметь векторный индекс и индекс Клиффорда. ^* Если вы не являетесь поклонником абстрактной нотации индексов, у нее не должно быть индексов. У него определенно не должно быть одного индекса.

Но физика элементарных частиц остановилась на использовании явных индексов для$T(V)$и скрытые индексы для$C\ell(V)$, и теперь мы должны жить с этим вечно, наряду со всеми другими неудачными замороженными случаями математической записи.

Это само по себе не говорит вам, что такое правило преобразования для$γ$должно быть; это просто означает, что это неинтересно. Это просто вопрос условности, а не глубокое свойство спинорной геометрии. Можно принять соглашение, согласно которому матрицы Дирака представляют четыре фиксированных физических направления в пространстве-времени, и в этом случае$γ$трансформировался бы, а спиноры — нет. Но обычное соглашение состоит в том, что они представляют любую основу, которую вы в настоящее время используете в векторной записи, а затем$γ$преобразуется как единичная матрица, поскольку это более или менее то, чем она является.

^{* Вместо одного индекса Клиффорда он, вероятно, должен иметь два спинорных индекса, но я не хотел говорить об этом вне сноски, чтобы не отвлечь внимание от моей точки зрения.}