Спинор Дирака в киральном базисе

В киральном базисе гамма-матрицы принимают вид

γ 0 "=" [ 0 1 1 0 ] , γ Дж "=" [ 0 − о Дж о Дж 0 ]
и поэтому можно рассчитать, как выглядят левый и правый проекторы:
п р "=" [ 1 0 0 0 ] , п л "=" [ 0 0 0 1 ] .
Дан спинор Дирака с компонентами ψ "=" ( ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , ψ 4 ) Т , совершенно ясно, что спиноры Вейля должны стать
ψ р "=" п р ψ "=" ( ψ 1 ψ 2 0 0 ) , ψ л "=" п л ψ "=" ( 0 0 ψ 3 ψ 4 )
и можно реконструировать спинор, просуммировав их оба, как ψ "=" ψ р + ψ л . Однако мне сказали, что в этом базисе мы можем разложить спинор Дирака в терминах спиноров Вейля как
ψ "=" [ ψ р ψ л ] .
Это невозможно, если ψ р и ψ л являются объектами с четырьмя компонентами, определенными выше. Так что это, вероятно, проблема с обозначениями; кто эти ψ р , ψ р и какое отношение они имеют к п р ψ , п л ψ ?

Ответы (1)

Проекторы п р , п л проект ψ е ЧАС ≅ р 4 на правый и левый секторы представления алгебры Лоренца, каждый из которых представляет собой двумерное векторное пространство, следовательно (локально) изоморфен р 2 .

Под "суммой" здесь подразумевается прямая сумма ⊕ :

( ψ 1 ψ 2 ) ⊕ ( ψ 3 ψ 4 ) "=" ( ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ) .
Вы правильно заметили, что операторы проектора удаляют две записи не в проецируемом пространстве, поэтому п л ЧАС ≅ р 2 , аналогично для п р ЧАС . Итак, заявление « ψ "=" ψ 1 + ψ 2 "на самом деле означает
ЧАС ≅ п л ЧАС ⊕ п р ЧАС .
Тогда, чтобы ответить на ваш последний вопрос, ψ р и ψ л являются членами р 2 которые можно отождествить (посредством изоморфизма) с образами проекций ЧАС .

Спасибо за ответ, я так и подозревал. К сожалению, мое изложение этой темы было довольно небрежным с математической точки зрения, и я чувствую, что слишком много деталей было упущено.
Рад, что это помогает. Мое любимое изложение этой темы — глава 10 книги Шварца «Квантовая теория поля и Стандартная модель». Он начинает с представлений группы Лоренца, что очень естественно мотивирует это разложение (глава 10.2). Он также не боится использовать математическую терминологию, что упрощает поиск дополнительного контекста в Google.
Спинор Дирака в киральном базисе
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v