Какова роль алгебры пространства-времени?

Алгебра Клиффорда $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^{1,3})$это алгебра, порожденная наделением векторов в$\mathbb{R}^{1,3}$со свободным алгебраическим умножением, а затем наложением ограничения, заданного выражением$v \circ v = \eta^{\mu\nu}v_\mu v_\nu$с$\eta$как метрика Минковского на$\mathbb{R}^{1,3}$.

Любая алгебра Клиффорда имеет естественную связь с внешней алгеброй , потому что вы можете просто задать изоморфизм векторного пространства, отобразив$e_i \wedge e_j$к$e_i \circ e_j$, а внешняя алгебра имеет геометрический смысл описания$k$-самолеты в$\mathbb{R}^n$см. также мой ответ о векторах и псевдовекторах .

На самом деле внешняя алгебра — это алгебра Клиффорда с$\eta = 0$. Таким образом, можно рассматривать алгебру Клиффорда$\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4,\eta)$как деформация (или квантование ) внешней алгебры с квадратичной формой$\eta$измерение отказа$\circ$быть антикоммутативным.

Какое отношение это имеет к группе Лоренца? Группа Лоренца$\mathrm{SO}(1,3)$является группой (сохраняющих происхождение) изометрий пространства Минковского, и хитрость заключается в том, что по построению алгебра Клиффорда с$\eta$несет представления изометрий, сохраняющих$\eta$:

Алгебра Клиффорда естественным образом разлагается на степени точно так же, как и внешняя алгебра:

где$\mathrm{Cl}_n$это подвекторное пространство, созданное$n$-кратные произведения векторов из$\mathbb{R}^{1,3}$. Вторая степень$\mathrm{Cl}_2$из этого является шестимерным.

Прежде всего заметим, что алгебра Клиффорда является пространством представления группы Лоренца с представлением, просто заданным линейным продолжением действия на первую степень, что просто$\mathbb{R}^{1,3}$на все остальные степени. Кроме того, степени являются собственными пространствами подпредставлений, и можно убедиться, что алгебра Клиффорда на самом деле не что иное, как

что неудивительно, поскольку в конце концов она изоморфна внешней алгебре как векторному пространству. Интересно то, что внутри него «спрятано» еще одно представление:

Если мы возьмем «ортонормированный» базис$\gamma^i$из$\mathbb{R}^{1,3}$с$\eta(\gamma^i,\gamma^j) = \eta^{ij}$, то вторая степень натянута на шесть$\sigma^{ij} := \frac{1}{4}(\gamma^i \circ \gamma^j - \gamma^j \circ \gamma^i) = \frac{1}{4}[\gamma^i,\gamma^j]$. Их коммутаторы лежат теперь в четвертой степени, которая является одномерной и, следовательно, только числом. Вычисление коммутаторов$\sigma^{ij}$показывает, что они в точности являются коммутаторами$\mathfrak{so}(1,3)$, следовательно, существует представление алгебры Лоренца, лежащее в средней степени этой алгебры Клиффорда! ¹

И это представление не является ни векторным, ни тензорным представлением, это истинное спинорное представление, действующее на$\mathrm{Cl}_1$, который вы можете видеть с момента действия$\mathrm{Cl}_2$принимает векторы в$\mathrm{Cl}_1$к псевдовекторам в$\mathrm{Cl}_3$, что означает, что это не правильное линейное представление, а проективное представление. При дальнейшем осмотре можно увидеть, что$\mathrm{Cl}_2$на$\mathrm{Cl}_1$² действительно является обычным спинорным представлением Дирака, но даже без каких-либо вычислений вы можете видеть, что оно является спинорным, поскольку оно не ведет себя должным образом по отношению к отражениям. ³

^{1 Однако не группы Лоренца - как спинориальное представление, это только правильное линейное представление покрытия группы Лоренца.}

^{2 Чтобы получить$\mathrm{Cl}_2$действие, чтобы фактически получить элементы в$\mathrm{Cl}_1$вместо$\mathrm{Cl}_3$, используйте двойственность Ходжа между$\mathrm{Cl}_1$и$\mathrm{Cl}_3$.}

^{3 Очень интересно отметить, что комплексификации здесь нигде не произошло — этот вариант получения спинориального представления на самом деле не нуждается в комплексных числах, хотя квантовой теории они, конечно, нужны.}