Можно ли определить произведение кет-вектора типа |A⟩|B⟩|A⟩|B⟩|A\rangle |B\rangle?

Автор имеет в виду тензорное произведение кет-векторов. Это действительно способ «умножения» векторов, хотя он и незаметен, потому что результирующий вектор произведения фактически лежит в другом векторном пространстве, чем исходные. Однако его обозначения довольно нестандартны, потому что физики почти всегда обозначают тензорное произведение векторов символом$\otimes$, нет$\prod$. Более стандартное обозначение было бы

$$|M\rangle = \bigotimes_{i=1}^N |n_i\rangle.$$

Сначала я объясню, как работает вектор для конечномерных пространств, а затем обобщу его на гильбертовы пространства в квантовой механике, начиная интуитивно, и сделаю его немного более строгим.

«Умножение векторов» происходит, когда у вас есть прямое (тензорное) произведение векторных пространств. Для обычных векторов, скажем, двумерных векторов в$\mathbb{R}^2$, прямое произведение двух из них даст тензор 2-го ранга или диадический (представленный матрицами 2x2), как если бы вы вставили весь вектор в компонент другого вектора:

$$\tag{(1)}\mathbf{v} \;\mathbf{u} = \begin{bmatrix} v_1 \mathbf{u} \\ v_2 \mathbf{u} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 u_1 & v_1 u_2 \\ v_2 u_1 & v_2 u_2 \end{bmatrix}$$ где вы можете представить n число прямых произведений вектора, который строит массив размера $2 \times 2 \times \ldots \times 2$, как n-мерный «куб».

Конечно, если речь идет о «бесконечномерном» гильбертовом пространстве, оно будет более абстрактным, чем это, но покомпонентное представление будет иметь ту же структуру (массивы n рангов). Таким образом, векторы состояния пространства прямого произведения будут представлять собой n-массив бесконечных чисел, как если бы вы поместили значения внутрь n-мерного куба, но стороны куба простираются до бесконечности.

Для одиночной частицы общее состояние будет$|\psi\rangle$бесконечномерный вектор. Если базисные состояния представлены натуральным числом,$n$, то у вас бесконечно много базисных векторов:

$$\Big\{ |0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, |3\rangle, \ldots \Big\}$$ каждый из них является вектором, подобным обычному $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$в трехмерном пространстве, но бесконечном, а не трехмерном. Их можно обозначить $|n\rangle$где n может быть любым натуральным числом.

Здесь n не переменная, это метка, типа вместо записи$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$, ты можешь написать$\hat{e}_i$где i работает от 1 до 3, и это трехмерный вектор, а не 1D. Таким образом, нотация скобок не похожа на запись компонентов в скобках, она предназначена для маркировки самого вектора .

Таким образом, общее состояние будет

$$|\psi\rangle = a_0 |0\rangle + a_1 |1\rangle+ \ldots = \sum_n a_n |n\rangle,$$ Теперь, когда вы возьмете тензорное произведение двух векторов состояния, вы получите $$\begin{align} |\Psi\rangle &= |\psi_1 \rangle | \psi_2\rangle \\ &= a_{00} |0\rangle|0\rangle + a_{01} |0\rangle |1\rangle + a_{02}|0\rangle |2\rangle + \ldots + a_{mn} |m\rangle |n\rangle + \ldots \end{align}$$ с точки зрения продуктово-пространственного базиса. Как видите, каждый «новый» базис является прямым произведением двух «старых» базисов. Компоненты этого вектора состояния $a_{mn}$, точно так же, как уравнение (1) для прямого произведения двумерных векторов, но оно представлено бесконечномерной матрицей. Если вы возьмете прямое произведение трех векторных пространств, то каждый компонент будет $a_{mn\ell}$как бесконечно широкий куб и так далее.

---

Теперь позвольте мне быть более строгим.

Позволять$\mathcal{H}_i$обозначают i-е одночастичное гильбертово пространство. Тогда гильбертово пространство всех частиц в системе было бы прямым произведением всех гильбертовых пространств,

$$\begin{align} \mathcal{H} &= \bigotimes_{i \in I}\mathcal{H}_i \\ & = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \otimes \ldots \otimes \mathcal{H}_n \end{align}$$

такой, что для каждого вектора$| \Psi \rangle \in \mathcal{H}$, у вас есть

$$\begin{align} |\Psi\rangle &= \prod_{i \in I} |\psi_i\rangle =|\psi_1\rangle |\psi_2\rangle \ldots |\psi_n\rangle \end{align}$$ где $I$является конечным подмножеством натуральных чисел и $| \psi_i \rangle \in \mathcal{H}_i$.

Мы, физики, большую часть времени неправильно используем обозначения математических объектов. Математики предпочли бы написать$\bigotimes$вместо$\prod$поскольку это не умножение, определенное внутри структуры (т. е. алгебры$^{(*)}$), а скорее внешняя композиция. Однако, поскольку мы знаем, что между векторами состояния нет такого умножения, то есть состояния не образуют алгебру, в квантовой механике это обозначение не является двусмысленным.

Для каждого$|\psi_i\rangle$вы можете иметь столько значений, сколько$\psi_i$это число, и оно может быть действительным или комплексным, или просто натуральным числом. Например, это могут быть собственные импульсные состояния i-й частицы, то есть$|p_i \rangle$, и все состояние представляет различные импульсы n частиц.

В вашем учебнике государство$|n_i\rangle$означает, что оно представлено натуральным числом n, но это число будет разным для каждого состояния в прямом произведении. Итак, они пометили это, например, i, это могло быть

$$| M \rangle = |1\rangle |3\rangle |15\rangle |4\rangle \ldots$$ Иногда мы просто пишем $|1,3,15, 4, \ldots\rangle$для краткости.

---

$^{(*)}$Алгебра - это векторное пространство, оснащенное векторным умножением вместе с векторным сложением, которое векторные пространства имеют по умолчанию . Например, линейные операторы в квантовой механике образуют алгебру на комплексном гильбертовом пространстве,$L^2(\mathbb{C})$. Но векторы состояния не образуют алгебру, т. е. вы не можете перемножить два вектора состояния, чтобы получить другой вектор состояния в том же гильбертовом пространстве.

В предыдущих ответах объяснялось, как умножение векторов можно математически определить как тензорное произведение. Я дам здесь немного больше физической информации, которая важна и не была ясно изложена для меня, когда я узнал об этом.

В квантовой механике состояния системы живут в гильбертовом пространстве. Как мы описываем состояния системы? Ну, каждая система имеет ряд степеней свободы. Например, в классической механике двойной маятник имел бы две степени свободы:$\phi_1$и$\phi_2$, углы, представляющие положения различных маятников. В качестве альтернативы вы можете рассмотреть положение мяча на 2D-плоскости, описываемое его переменными положения.$x$и$y$.

Ну квантово-механически это то же самое. Система имеет степени свободы . Разница в том, что эти степени свободы количественно определяются не просто переменными с числом c (комплексным числом), а скорее квантовыми операторами. Так, например,$x$заменяется на$\hat{x}$. и$y$заменен на$\hat{y}$.$\hat{x}$и$\hat{y}$являются, конечно, квантовыми операторами. Поскольку они являются операторами, это означает, что они действуют в гильбертовых пространствах. В частности, оператор, соответствующий каждой степени свободы, может действовать в своем гильбертовом пространстве. То есть существует гильбертово пространство$\mathcal{H}_x$на которой$\hat{x}$полигоны и гильбертово пространство$\mathcal{H}_y$на которой$\hat{y}$действует.

Если бы присутствовала только одна из степеней свободы, мы могли бы описать полное состояние системы, дав$\lvert \psi \rangle_x \in \mathcal{H}_x$, вектор в гильбертовом пространстве, представляющий состояние системы. Однако при наличии нескольких степеней свободы вы должны указать что-то, описывающее состояние каждой степени свободы в системе.

Я объяснил, как существует гильбертово пространство для каждой степени свободы. Тензорное произведение, как хорошо объяснялось в предыдущих ответах, — это инструмент, используемый для объединения субгильбертовых пространств для каждой степени свободы в полное гильбертово пространство для системы. Тогда состояние системы полностью определяется спецификацией вектора в полном гильбертовом пространстве.

Вот ключевой момент: вообще, если гильбертово пространство$\mathcal{H}_{tot}$является тензорным произведением меньших гильбертовых пространств$\mathcal{H}_1$и$\mathcal{H}_2$то любой вектор в$\mathcal{H}_{tot}$может быть записана как линейная комбинация тензорных произведений векторов из$\mathcal{H}_1$и$\mathcal{H}_2$. Состояние, описанное в вашей книге, является примером одного из таких состояний.

Резюмируя: если квантовая система имеет более одной степени свободы, то состояния будут описываться как линейные комбинации тензорных произведений векторов из гильбертовых пространств, соответствующих каждой степени свободы.