Можно ли по уравнению эллиптической орбиты найти скорость спутника в определенной точке?

Question

Можно ли по уравнению эллиптической орбиты найти скорость спутника в определенной точке?

пользователь35443

Как сказано в заголовке: по уравнению эллиптической орбиты можно ли найти скорость спутника в определенной точке? Я немного играю с симуляцией планет и спутников в Солнечной системе, и я хотел бы отобразить скорости спутников в заданных заранее определенных точках на орбите.

Мое уравнение

\frac{{Икс}^{2}}{а^{2}} + \frac{{Икс}^{2}}{б^{2}} "=" 0

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 0$

и мне нужно найти скорость в $[m, 0]$ , $[m, n]$ и $[0, n]$ (где все эти точки $\epsilon$ орбита).

Я пытался найти $\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}$ который оказался

\frac{ды}{дх} "=" - \frac{Икс}{у} \frac{б^{2}}{а^{2}}

$\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = -\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}$

Это выглядит хорошо для $[m, n]$ , но он не дает никакого значимого ответа для $[m, 0]$ и $[0, n]$ .

Мой подход в порядке, или есть другой способ сделать это? Мне пришло в голову преобразовать уравнение в полярную форму и использовать тот факт, что

[м, 0] \equiv [м, π]

$[m, 0] \equiv [m, \pi]$

[0, н] \equiv [н, \frac{π}{2}]

$[0, n] \equiv [n, \frac{\pi}{2}]$

... но это кажется слишком сложным.

Ответы (1)

Можно ли по уравнению эллиптической орбиты найти скорость спутника в определенной точке?

Дэвид Хаммен · Answer 1

Мое уравнение
$\frac{{Икс}^{2}}{а^{2}} + \frac{{Икс}^{2}}{б^{2}} "=" 0$ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 0$

Это не то уравнение, которое вам нужно для спутника. Это уравнение описывает эллипс с центром в начале координат. Вам нужен эллипс с началом в одном из фокусов:

р "=" \frac{а (1 - е^{2})}{1 + е потому что θ}

$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$ где

$r$ это расстояние от начала координат до точки на эллипсе.
$a$ - длина большой полуоси, половина длины большой оси эллипса.
$e$ - эксцентриситет эллипса.
$\theta$ - угол, образуемый между отрезками линии, идущими от начала координат до точки перицентра (наиболее близкое сближение) и от начала координат до спутника.

Хотя приведенное выше описывает путь, оно еще не описывает скорость. Немного поработав (не показано), дифференцируя $\vec r = r\hat r$ по времени выхода

\vec{в} \equiv \frac{г \vec{р}}{г т} "=" р \dot{θ} (\frac{е грех θ}{1 + е потому что θ} \hat{р} + \hat{θ})

$\vec v \equiv \frac{d\vec r}{dt} = r\dot\theta\left(\frac {e\sin\theta}{1+e\cos\theta} \hat r + \hat \theta\right)$ Есть две проблемы с вышеизложенным. Один из них

\dot{θ}

$\dot\theta$ не является постоянным. Другое дело, что это ничего не говорит о

\dot{θ}

$\dot\theta$ . Для этого вам понадобится простая физика. Что вам нужно, так это закон тяготения Ньютона, сохранение энергии и сохранение углового момента. Результатом является без вывода уравнение vis-viva :

в^{2} "=" г (м_{1} + м_{2}) (\frac{2}{р} - \frac{1}{а})

$v^2 = G(m_1+m_2)\left(\frac 2 r - \frac 1 a\right)$ где

$v$ - модуль вектора скорости одного тела относительно другого,
$G$ - ньютоновская гравитационная постоянная,
$m_1$ и $m_2$ - массы двух тел,
$r$ - расстояние между центрами двух тел, а
$a$ длина большой полуоси орбиты одного тела относительно другого.

Можно ли по уравнению эллиптической орбиты найти скорость спутника в определенной точке?

пользователь35443

Ответы (1)

Дэвид Хаммен

Скорость спутника, чтобы врезаться в землю

Рассчитать орбитальные изменения после ускорения

Кинематика и динамика падающего спутника

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Как вывести соотношение обратных квадратов в законе тяготения Ньютона из законов Кеплера?

Почему спутник, движущийся вокруг Земли по кругу, имеет постоянную скорость?

Космический лифт — сможем ли мы это сделать?

Закон Кеплера и моя проблема

Формулы гравитации Ньютона для эллипсов