Скорость спутника, чтобы врезаться в землю

Question

Скорость спутника, чтобы врезаться в землю

АББС

Я читал этот пост сегодня и был очень впечатлен ответом, который был дан. Однако что должно было произойти со скоростью, чтобы он столкнулся с Землей?

Скорость спутников больше требуемой скорости

Я думал составить уравнение следующим образом. Если орбита изменится с круговой на некоторой высоте $h$ со скоростью $v$ , то эллиптическая орбита произойдет, если скорость уменьшится до $\lambda v$ , для некоторых $\lambda \in (0,1)$ .

Из поста, сделанного ранее, мы знаем, что исходная скорость определяется выражением

в_{0}^{2} "=" \frac{г М}{р_{Е} + час}

$v_0^2 = \frac{GM}{R_E+h}$ а новая скорость определяется выражением

λ^{2} в_{н}^{2} "=" λ^{2} (г М (\frac{2}{р_{Е} + час} - \frac{1}{а})) .

$\lambda^2 v_n^2 = \lambda^2 \Bigg ( GM \Bigg ( \frac{2}{R_E+h} - \frac{1}{a} \Bigg ) \Bigg ).$ Следовательно, решение

λ^{2} в_{н}^{2} \leq \frac{г М}{р_{Е}} .

$\lambda^2 v_n^2 \leq \frac{GM}{R_E}.$ Должен дать жизнеспособное ограничение на

λ^{2}

$\lambda^2$ .

Но это не дает мне того, что я хочу. Спутник должен врезаться в землю, если он прорвет атмосферу, т.е. когда $h < R_E + R_A$ , где $R_A$ это атмосферная высота.

Как мне это определить $R_A$ из общей теории?

Я знаю, что скорость убегания определяется выражением $V_E = \sqrt{\frac{GM}{R_E+h}}$ .

Эмилио Писанти

Толщину атмосферы из теории не определишь - надо идти и смотреть. Это также нечеткая граница: некоторые орбиты просто рушатся, но если вы просто коснетесь края атмосферы, вы вернетесь обратно, но ваша орбита будет медленно разрушаться, и в конце концов вы рухнете, хотя это может занять много месяцев.

Ответы (1)

Скорость спутника, чтобы врезаться в землю

Толщину атмосферы из теории не определишь - надо идти и смотреть. Это также нечеткая граница: некоторые орбиты просто рушатся, но если вы просто коснетесь края атмосферы, вы вернетесь обратно, но ваша орбита будет медленно разрушаться, и в конце концов вы рухнете, хотя это может занять много месяцев.

Джон Ренни · Answer 1

Все, что вам нужно сделать, это рассчитать расстояние перигея $r_p$ это расстояние наибольшего сближения. Тогда, если $r_p < R_A$ ваш спутник рухнет и сгорит.

Мы снова начинаем с уравнения vis-viva:

\begin{matrix} (1) & в^{2} "=" г М (\frac{2}{р} - \frac{1}{а}) \end{matrix}

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \tag{1}$

Параметр $a$ является большой полуосью эллипса и связана с радиусами перигея и апогея, как показано ниже:

Итак, у нас есть:

2 а "=" р_{п} + р_{а}

$2a = r_p + r_a$

что превращает уравнение живой природы (1) в:

в^{2} "=" 2 г М (\frac{1}{р} - \frac{1}{р_{п} + р_{а}})

$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_p + r_a} \right)$

В апогее $r = r_a$ и $v = v_a$ и включение их в наше новое уравнение дает:

в_{а}^{2} "=" 2 г М (\frac{1}{р_{а}} - \frac{1}{р_{п} + р_{а}})

$v_a^2 = 2GM\left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_p + r_a} \right)$

И нам просто нужно изменить это, чтобы получить уравнение для расстояния перигея:

\begin{matrix} (2) & р_{п} "=" \frac{р_{а}}{\frac{2 г М}{в_{а}^{2} р_{а}} - 1} \end{matrix}

$r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v_a^{\,2}r_a} - 1} \tag{2}$

Теперь давайте посмотрим на ваш конкретный вопрос. Назовем радиус удара $R$ , где $R$ будет по крайней мере радиус Земли, но немного больше, чтобы принять во внимание атмосферу. Итак, мы ищем орбиту с перигейным расстоянием $r_p=R$ . Спутник выходит на круговую орбиту радиусом $r_0$ поэтому орбитальная скорость :

в_{0} "=" \sqrt{\frac{г М}{р}}

$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

И мы спрашиваем, что произойдет, если мы уменьшим скорость до $\lambda v_0$ . Все, что нам нужно сделать, это взять уравнение (2) и подставить новую скорость $v=\lambda v_0$ , радиус апогея $r_a=r_0$ и установите радиус перигея равным радиусу столкновения $r_p=R$ и мы получаем:

р "=" \frac{р_{0}}{\frac{2 г М}{λ в_{0}^{2} р_{0}} - 1}

$R = \frac{r_0}{\frac{2GM}{\lambda v_0^{\,2}r_0} - 1}$

И при замене $v_0=\sqrt{GM/r_0}$ это упрощает:

р "=" \frac{р_{0}}{\frac{2}{λ} - 1}

$R = \frac{r_0}{\frac{2}{\lambda} - 1}$

И переставить для $\lambda$ дает:

\begin{matrix} (3) & λ "=" \frac{2 р}{р + р_{0}} \end{matrix}

$\lambda = \frac{2R}{R+r_0} \tag{3}$

Итак, учитывая ваш начальный радиус круговой орбиты $r_0$ уравнение (3) сообщает вам значение $\lambda$ вам нужно, чтобы ваш спутник разбился и сгорел.

Спасибо за подробный ответ, однако я не думаю, что это полностью отвечает на мой вопрос. Меня больше волнует условие по скорости. Итак, предположим, что мы начинаем с круговой орбиты на высоте $R_E+h$ и скорость $v$ . Снижение скорости от $v$ к $\lambda v$ индуцирует эллиптическую орбиту. Предполагая $r_p = R_E + h$ и $r_a = R_E$ , какие скорости мы сравним, чтобы увидеть, насколько должна измениться скорость, чтобы спутник «разбился и сгорел»?
@Jordan: я расширил свой ответ, чтобы сделать расчет более понятным
Спасибо, однако, просматривая ваш расчет, вы уверены, что это не так $λ "=" \frac{2 р_{Е}}{2 р_{Е} + р_{0}} ?$ $\lambda = \frac{2R_E}{2R_{E}+r_0}?$
@Иордания: $R$ это радиус, ниже которого спутник обречен рухнуть и сгореть. Если не обращать внимания на атмосферу $R=R_E$ , а на практике $R$ немного больше, чем $R_E$ потому что нужно включить высоту амосферы. Не существует простого способа точно определить значение $R$ это связано с тем, что атмосферное сопротивление нетривиальным образом зависит от размера и формы спутника, а также его скорости.
@Jordan: где ты взял этот второй фактор $2$ от? Это явно неправильно, потому что если вы установите $R=r_0$ уравнение должно давать $\lambda=1$ . Ваше уравнение даст $\lambda=2/3$ .
Простите меня, да, вы правы. Я думал о том, как мы могли бы использовать это, чтобы определить скорость удара. Я ожидаю, что скорость удара будет задана $в_{с}^{2} "=" \frac{г М_{Е} (2 час + р_{Е} λ^{2})}{(р_{Е} + час) р_{Е}} .$ $v_c^2 = \frac{GM_E(2h+R_E\lambda^2)}{(R_E+h)R_E}.$ Тем не менее, я запутался во многих расчетах, как бы вы использовали приведенные выше расчеты для определения скорости удара?
@Jordan: скорость определяется уравнением vis-viva, с которого мы начали. В качестве альтернативы просто используйте закон сохранения энергии, т.е. увеличение кинетической энергии равно уменьшению потенциальной энергии.
Скорость спутника при столкновении с Землей не должна быть скоростью, заданной уравнением vis-viva, не так ли?
@Jordan: да, почему бы и нет? Уравнение vis-viva в основном выводится из закона сохранения энергии.
Тогда конечно $r_a$ и $r_p$ изменить, чтобы вычислить это?
@Jordan: Если вы хотите продолжить, мы должны продолжить в чате.

Скорость спутника, чтобы врезаться в землю

АББС

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Джон Ренни

АББС

Джон Ренни

АББС

Джон Ренни

Джон Ренни

АББС

Джон Ренни

АББС

Джон Ренни

АББС

Джон Ренни

АББС

Можно ли по уравнению эллиптической орбиты найти скорость спутника в определенной точке?

Рассчитать орбитальные изменения после ускорения

Кинематика и динамика падающего спутника

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Как вывести соотношение обратных квадратов в законе тяготения Ньютона из законов Кеплера?

Почему спутник, движущийся вокруг Земли по кругу, имеет постоянную скорость?

Космический лифт — сможем ли мы это сделать?

Закон Кеплера и моя проблема

Формулы гравитации Ньютона для эллипсов