Рассчитать орбитальные изменения после ускорения

В основном вы спрашиваете, как преобразовать начальные условия, положение и скорость в элементы орбиты . В этом случае и положение, и скорость являются двумерными векторами с системой отсчета, расположенной в центре небесного тела, с гравитационным параметром$\mu$, а элементы орбиты: «долгота восходящего узла» и «наклон» не должны определяться, поскольку плоскость орбиты равна плоскости 2D, единственная информация, которую вам нужно сохранить, это то, вращается ли она по часовой стрелке или против часовой стрелки. Таким образом, для заданного опорного направления$\Upsilon$, ты должен знать:

• Большая полуось$a$
• Эксцентриситет$e$
• Аргумент перицентра$\omega$(теперь определяется как угол между$\Upsilon$и вектор положения в перицентре)
• Истинная аномалия$\nu$в эпоху (отсчетный момент времени)
• Направление$\lambda$(-1 для по часовой стрелке и 1 для против часовой стрелки)

По вашему вопросу я уточню$\Upsilon$как вектор положения в перицентре начальной орбиты (таким образом$\omega=0$) и эпоха как момент$\Delta v$применены. Положение и скорость в полярных координатах можно найти из элементов орбиты, используя следующие уравнения:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu},$$

$$\theta = \lambda \nu + \omega,$$

$$v_{r} = \sqrt{\frac{\mu}{a(1-e^2)}}e\sin\nu,$$

$$v_{\theta} = \lambda\sqrt{\frac{\mu}{a(1-e^2)}}(1+e\cos\nu).$$

В вашем случае вам нужно будет добавить некоторые значения к компонентам скорости, чтобы найти положение и скорость после применения$\Delta v$.

Теперь вы хотите преобразовать эти значения обратно в элементы орбиты. Большую полуось можно найти, используя удельную орбитальную энергию ,

$$a = \frac{\mu r}{2\mu - (v_r^2 + v_\theta^2)r}.$$

Эксцентриситет можно найти, используя удельный относительный угловой момент ,$h=|v_\theta| r=\sqrt{\mu a(1-e^2)}$,

$$e = \sqrt{1 - \frac{v_\theta^2 r^2}{\mu a}} = \sqrt{1 + \frac{v_\theta^2 r}{\mu} \left(\frac{(v_r^2 + v_\theta^2)r}{\mu} - 2\right)}.$$

Для истинной аномалии вы можете использовать уравнение для$r$и новые значения для$a$и$e$,

$$\cos\nu = \frac{a(1-e^2)-r}{er},$$

вы можете взять арккосинус этого значения, чтобы получить$\nu$, однако это может иметь значение только между$0$и$\pi$. Чтобы покрыть другую половину орбиты, вы можете разумно использовать тот факт, что ваша радиальная скорость может быть отрицательной только после прохождения апоцентра, таким образом, если вы ограничите область$\nu$к$-\pi\geq\nu\geq\pi$то это можно записать как,

$$\nu = \frac{|v_r|}{v_r}\cos^{-1}\left(\frac{a(1-e^2)-r}{er}\right).$$

Направление орбиты можно найти с помощью

$$\lambda = \frac{|v_\theta|}{v_\theta}.$$

И, наконец, аргумент перицентра можно найти с помощью:

$$\omega = \theta - \lambda \nu.$$