Можно ли сделать томографию запутанного состояния только по измерениям на подсистемах?

Можно выполнять томографию, выполняя только измерения на подсистемах, если можно сопоставить результаты измерений, то есть мы должны иметь возможность измерять ожидаемые значения (в журнале я ограничиваюсь двудольным состоянием)

$$\langle A\otimes B\rangle = \mathrm{tr}(\rho(A\otimes B))\ .$$

Причина в том, что для томографии достаточно измерить$\mathrm{tr}(\rho X)$ for a set of (hermitian) operators $X$ which generate the full space of (hermitian) matrices.

To understand how this works, note first that $\mathrm{tr}(X^\dagger Y)$ defines a scalar product (=a Hilbert space structure) on the space of matrices, and for a Hilbert space, a vector is completely determined by its scalar product with any basis of vectors. On the other hand, given two Hilbert spaces $\mathcal H_1$ and $\mathcal H_2$ with bases $\vec c_i$ and $\vec d_j$, a basis of $\mathcal H_1\otimes \mathcal H_2$ is given by $\vec c_i\otimes \vec d_j$.

Thus, all you have to do is to pick hermitian matrices $C_i$ and $D_j$ which span the full space of hermitian matrices, and measure all expectation values (=determine the scalar products)

$$\langle C_i\otimes D_j\rangle=\mathrm{tr}(\rho(C_i\otimes D_j))\ ,$$ достаточно информации для реконструкции $\rho$.

Например, в случае двух кубитов достаточно выбрать$C_i$и$D_j$матрицы Паули и тождество, и, таким образом, достаточно измерить

$$\langle \sigma_i\otimes \sigma_j\rangle$$ с $j=0,1,2,3$.

Легко видеть, что этот аргумент обобщается на многочастную ситуацию.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ (после комментария OP):

Если кто-то хочет ограничиться измерениями только одной части , т.е.$\langle M_i\otimes Id \rangle$и$\langle Id\otimes N_j\rangle$, томография невозможна , так как эти ожидаемые значения зависят только от индивидуальных приведенных матриц плотности. Простой контрпример дается любыми двумя максимально запутанными состояниями, такими как

$$\vert\psi^{\pm}\rangle = \frac{\vert 00\rangle \pm \vert 11 \rangle}{\sqrt{2}}\ ,$$ поскольку для любых максимально запутанных состояний операторы приведенной плотности для обеих сторон являются максимально смешанным состоянием.