Можно ли в этом случае применить теорему о работе-энергии?

На самом деле это неконсервативная система, и поэтому нет оснований утверждать, что энергия, потерянная одним, будет получена другим; часть его рассеется в виде тепла на их границе раздела.

Это легче всего увидеть в системе центра масс, где импульс начинается и заканчивается на нуле. Если два объекта сближаются, а затем слипаются, то кинетическая энергия должна быть больше нуля до столкновения и равна нулю после него, поскольку они оба должны находиться в состоянии покоя в этой системе отсчета. Тот факт, что они должны иметь нулевой общий импульс в этой системе отсчета, означает

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$$ который можно переписать как $v_2 = -(m_1/m_2) v_1$, поэтому их относительная скорость равна $v_0 = v_1 - v_2 = \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)v_1 = -\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)v_2.$Если вы попытаетесь сложить эти дроби так, как мы все учили в школе, вы увидите интересную массу. $M = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$возникающие здесь с $v_0 = m_1~v_1/M = -m_2~v_2/M.$

Таким образом, потерянная энергия может быть получена в этой системе отсчета центра масс как

$$E_\text{loss} = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 = \frac12 \left(\frac{M^2}{m_1} + \frac{M^2}{m_2}\right) v_0^2 = \frac12 M v_0^2,$$ где я использовал тот факт, что $\frac1M = \frac1{m_1} + \frac1{m_2}.$

Различия в кинетической энергии не зависят от системы отсчета, даже если абсолютное значение кинетической энергии не зависит от нее, поэтому ваш фактический энергетический баланс в интересующей вас системе отсчета должен быть (с вашим$M$что я звонил$m_2$, не$M$Я использовал выше)

$$\frac12 m v_0^2 =\frac12 m v^2 + \frac 12 M v^2 + \frac 12 \frac{m M}{m + M} v_0^2.$$ От этого всего один шаг до нахождения $$\left(\frac{m}{m + M}\right)^2 v_0^2 = v^2$$ и таким образом, что $v = \pm v_0 m/(m + M),$и «очевидно», что мы выбираем знак +.

Однако к этому результату гораздо проще прийти, вместо использования баланса энергии, построив баланс количества движения,

$$m v_0 = (M + m) v,$$ который дает вам этот конкретный результат напрямую, без необходимости выполнять какую-либо тяжелую работу.

Вы сделали ошибку в знаке. Правильное начальное уравнение

$$\frac{1} {2} m (v_0^2 - v^2) = \frac{1} {2} M v^2$$ Слева — энергия, потерянная маленьким блоком, справа — энергия, полученная большим блоком. Конечно, это предполагает, что при трении энергия не рассеивается, а только передается, что маловероятно.