Какая работа совершается, если тело движется по окружности? (Не в круговом движении)

Для этого ответа я предположу, что человек давит на коробку с силой$F$по направлению движения (по касательной к окружности).

Совершенная работа определяется

$$W = \int \vec F \cdot d\vec s$$ где$\vec F$приложенная векторная сила и$d \vec s$— бесконечно малое векторное смещение. Это интеграл по путям .

Поскольку направление силы меняется, мы не можем просто преобразовать интеграл в$|F||s|$. Полное перемещение в этом случае с момента возвращения в исходную точку равно нулю.

Мы должны учитывать силу и перемещение в каждой точке пути (с исчислением). К счастью, есть упрощение, позволяющее избежать вычислений. Перейдем к полярным координатам.

$$\vec F = F_0 \hat \theta$$ $$d\vec s = r d\theta \, \hat \theta$$ Таким образом, мы можем комбинировать и интегрировать$\theta$от$0\to2\pi$. $$W = \int \limits_0^{2\pi} F_0 r d\theta \, (\hat \theta \cdot \hat \theta)$$ Преимущество здесь в том, что в полярных координатах$\vec F$и$d \vec s$ постоянны . При интегрировании константы мы можем упростить до простого умножения: $$W = F_0 r \theta |_0^{2\pi}= F_0 r \times 2 \pi$$ Примечательно, что это всего лишь$F$умножить на общую длину пути$2\pi r$.

Версия без вычислений : работа есть сумма$\vec F \cdot \Delta \vec x$в каждой точке пути, если$\theta$угол между силой и смещением (направлением движения) и$\theta$постоянна, то совершенная работа равна$Fd\cos(\theta)$. Поскольку здесь сила всегда параллельна направлению движения, ее просто$Fd$где$d$общая длина пути ($d=2\pi r$).

Резюме: ключевым моментом здесь является скалярное произведение силы и смещения в каждой точке пути . Если принять во внимание нормальную силу, действующую на землю (которая перпендикулярна смещению ящика), она не произвела бы на ящик никакой работы .