Противоречивый результат теоремы о кинетической энергии

Question

Противоречивый результат теоремы о кинетической энергии

Давиде Даль Боско

У меня есть простая задача по физике 101, которая приводит к странному результату.

Тележка массы $m$ должен двигаться без трения по рельсу, расположенному в вертикальной плоскости (как показано на рисунке). Рельс образован двумя круглыми частями радиуса $R$ склеены.

Первоначально тележка стоит на месте у основания рельса, и через некоторое время $t=0$ , постоянная сила $\mathbf{F}$ применяется к тележке. Сила $\mathbf{F}$ в каждой точке траектории касается рельса. Как только тележка достигнет высоты $2R$ , сила $\mathbf{F}$ исчезает.

Вопрос: какое минимальное значение $F$ что заставляет тележку достигать высоты, равной $2R$ ?

Решение

Подход к решению проблемы может заключаться в использовании теоремы о работе-энергии , которая утверждает, что изменение кинетической энергии равно выполненной работе.

{Вт}_{о \to б} "=" \frac{1}{2} м в^{2} (б) - \frac{1}{2} м в^{2} (о)

$W_{o\to b} = \frac{1}{2}m v^2(b) - \frac{1}{2}m v^2(o)$

Работа двух сил (веса и силы $\mathbf{F}$ ) можно вычислить как

{Вт}_{о \to б} "=" \int_{о}^{б} (Ф + м г) \cdot г с "=" Ф \int_{о}^{б} г с - м г 2 р "=" Ф π р - 2 м г р,

$W_{o\to b} = \int_o^b (\mathbf{F}+m\mathbf{g})\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}=F\int_o^b\mathrm{d}s - mg2R=F\pi R - 2mgR,$

где мы использовали тот факт, что сила $\mathbf{F}$ всегда параллельно перемещению $\mathrm{d}\mathbf{s}$ .

С другой стороны, я знаю, что скорость в $o$ равно нулю, и если я хочу вычислить минимальное значение силы $\mathbf{F}$ что позволяет тележке достигать высоты $2R$ , я предполагаю, что скорость равна нулю и в точке $b$ , следовательно

\frac{1}{2} м в^{2} (б) - \frac{1}{2} м в^{2} (о) "=" 0 - 0 "=" 0

$\frac{1}{2}m v^2(b) - \frac{1}{2}m v^2(o)= 0-0 =0$

Следовательно, теорема о работе-энергии принимает вид

{Вт}_{о \to б} "=" Ф π р - 2 м г р "=" 0,

$W_{o\to b} = F\pi R - 2mgR = 0,$

который, решая для $F$ , дает

Ф "=" \frac{2}{π} м г .

$F= \frac{2}{\pi} mg.$

Этот результат кажется мне загадочным.

Действительно, начало рельса вертикально , поэтому сила $F$ необходимо, чтобы преодолеть вес и позволить тележке двигаться вверх, должно быть не менее $mg$ .

Почему теорема о работе-энергии приводит к неверному результату? Я применил это неправильно?

Марко Гулин

Интересная проблема. Упростите задачу до чистого вертикального движения. С

Δ K = 0

$\Delta K = 0$ результат был бы

\vec{F} = m g \hat{ȷ}

$\vec{F} = mg \hat{\jmath}$ что неверно, поскольку эта (внешняя) сила никогда не оторвет тележку от земли.

Максимальный идеал

Как отмечает Филипп Вуд, если

F

$F$ постоянна (вдоль кривой), то как шарик может достичь нулевой скорости в точке

b

$b$ ? Это реальная возможность? В точку

o

$o$ ,

F

$F$ достаточно, чтобы преодолеть гравитационную силу, но в точке

b

$b$ одной и той же силы недостаточно, даже если она имеет ту же величину.

Махдияр

Наложить

K . E . \geq 0

${\rm K.E.} \geq 0$ состояние в каждой промежуточной точке между

o

$o$ ан

b

$b$ . За точку

ϵ \hat{y}

$\epsilon \bf \hat y$ чуть выше

o

$o$ , для этого потребуется

F \geq m g

$F\geq mg$ .

Ответы (4)

Противоречивый результат теоремы о кинетической энергии

Интересная проблема. Упростите задачу до чистого вертикального движения. С $\Delta K = 0$ результат был бы $\vec{F} = mg \hat{\jmath}$ что неверно, поскольку эта (внешняя) сила никогда не оторвет тележку от земли.
Как отмечает Филипп Вуд, если $F$ постоянна (вдоль кривой), то как шарик может достичь нулевой скорости в точке $b$ ? Это реальная возможность? В точку $o$ , $F$ достаточно, чтобы преодолеть гравитационную силу, но в точке $b$ одной и той же силы недостаточно, даже если она имеет ту же величину.
Наложить ${\rm K.E.} \geq 0$ состояние в каждой промежуточной точке между $o$ ан $b$ . За точку $\epsilon \bf \hat y$ чуть выше $o$ , для этого потребуется $F\geq mg$ .

Филип Вуд · Answer 1

а) Если бы сила была постоянной, ни ее направление, ни величина не изменились бы. Мы предполагаем здесь, что величина постоянна.

(b) Не теорема о работе-энергии породила парадокс, а ваше предположение, что для минимума $F$ KE тележки равен нулю в точке b. Энергетическое условие, которое мы имеем право налагать, является менее строгим, чем $\text{KE} ≥ 0$ в б. Следовательно, из ваших трудовых расчетов $F ≥ \frac 2\pi mg$ .

(c) Как вы указали, равенство, $F = \frac 2\pi mg$ не может быть правильным выбором, потому что это не позволит тележке начать подъем! Мы знаем, как велико $F$ нужно быть.

(d) [ добавлено по предложению YiFan ] С $F = mg$ (минимальное значение $F$ для начала поездки) тележка будет получать КЭ на протяжении всего пути (за исключением самого начала и самого конца), поэтому ее КЭ в точке b не может быть равна нулю. Легко показать, что общее условие получения КЭ в любой точке кривой выглядит следующим образом: $\sin \theta ≤\frac F {mg}$ в котором $\theta$ - локальный угол кривой к горизонтали.

(e) Получится ли у задачи менее тривиальный ответ, если поменять местами левую и правую части кривой так, чтобы вертикальный бит оказался в середине полной кривой? [Я верю, что да!]

OP предполагает, что KE = 0 при b, потому что они думали, что при минимальном F это должно быть так. (Логика заключается в том, что если KE > 0 в точке b, то мы могли бы немного уменьшить F, когда тележка все еще достигает точки b; она должна достигать нулевой скорости, если только «только что» достигает.) Возможно, вы могли бы уточнить в своем ответе больше. почему это неправильно.
@YiFan KE не может быть равен нулю в точке b, потому что если $F$ достаточно большой (т. $F ≥ mg$ ), чтобы поднять тележку на первую (вертикальную) часть кривой, это приведет к тому, что тележка получит KE на оставшейся части пути (за исключением бесконечно малой близости к b). Легко показать, что условие получения KE в любой точке кривой имеет вид $\sin \theta ≤ \frac F {mg}$ в котором $\theta$ - локальный угол кривой к горизонтали.
Да, возможно, было бы хорошо отредактировать это в ответе для полноты картины?

Майкл Зайферт · Answer 2

Поскольку это одномерная задача, мы также можем определить потенциальную энергию из-за приложенной силы, определяемую выражением

U_{Ф} \equiv - \int_{0}^{\vec{р}} \vec{Ф} \cdot г \vec{р} "=" - Ф с

$U_F \equiv -\int_0^\vec{r} \vec{F} \cdot d\vec{r} = - F s$ где

s

$s$ длина дуги вдоль пути. Настройка значения

F

$F$ можно просто рассматривать как регулировку «силы» этой потенциальной энергии.

Немного геометрии показывает, что мы можем связать $s$ на высоту $y$ к

с "=" р {\begin{cases} арксин (у / р) & 0 \leq у \leq р \\ арккос (2 - у / р) + π / 2 & р < у \leq 2 р \end{cases}

$s = R \begin{cases} \arcsin(y/R) & 0 \leq y \leq R \\ \arccos(2 - y/R) + \pi / 2 & R < y \leq 2R\end{cases}$ и поэтому полная потенциальная энергия объекта равна

U "=" м г у - Ф р {\begin{cases} арксин (у / р) & 0 \leq у \leq р \\ арккос (2 - у / р) + π / 2 & р < у \leq 2 р \end{cases} .

$U = m g y - F R \begin{cases} \arcsin(y/R) & 0 \leq y \leq R \\ \arccos(2 - y/R) + \pi / 2 & R < y \leq 2R \end{cases}.$

Для $F = mg$ , потенциальная энергия выглядит так:

Легко видеть, что частица на $y = 0$ с незначительной начальной кинетической энергией дойдет до $y = 2R$ (и будет иметь значительное количество KE, когда он туда доберется.) С другой стороны, если мы наметим потенциал для $F = 2 m g /\pi$ , получим следующий график:

Если тележка доехала до $y = 2R$ в этом потенциале он прибудет туда с той же КЭ, с которой начал; мы бы хотели иметь $\Delta K = -\Delta U = 0$ между этими точками. Но он должен иметь начальную скорость, достаточную для того, чтобы «перепрыгнуть через горб». С другой стороны, если тележка стартует с нулевым КЭ, она не сможет преодолеть горб и, следовательно, никогда не достигнет $y = 2R$ .

Эли · Answer 3

Уравнение движения:

м \ddot{с} + Ф - потому что (\frac{с}{р}) м г "=" 0

$m\,\ddot s+F-\cos\left(\frac sR\right)\,m\,g=0$

форма здесь с $~s=\pi\,R~$ и $~\ddot s=0~$ вы получаете это

Ф "=" - м г

$F=-m\,g$

теперь твоя проблема

умножить ЕОМ на $~\dot s~$ и интегрировать вы получаете

\frac{м}{2} {\dot{с}}^{2} "=" - \int Ф г с - \int потому что (\frac{с}{р}) м г г с "=" - Ф с - м г р грех (\frac{с}{р}) \Rightarrow Вт "=" - Ф с - м г р грех (\frac{с}{р})

$\frac m2\dot s^2=-\int F\,ds-\int \cos\left(\frac sR\right)\,m\,g\,ds=-F\,s-m\,g\,R\sin\left(\frac sR\right)\quad\Rightarrow\\ W=-F\,s-m\,g\,R\sin\left(\frac sR\right)$ но с

s = π R

$~s=\pi\,R~$ вы получаете это

F = 0

$~F=0$ так что ваш анзац скорее всего неверен

но если работа

Вт "=" м г у + Ф у

$W=m\,g\,y+F\,y$ вы получаете для y=

2 R, W = 0

$~2\,R~,W=0$ ,

F = - m g

$~F=-m\,g~$

В первом уравнении перед числом стоит знак минус. $\cos(s/R)$ ? Составляющая веса, параллельная рельсу, всегда противоположна перемещению. В остальном отличное понимание!

Клаудио Саспинский · Answer 4

То, как формулируется проблема, $F >= mg$ ибо тележка начинает двигаться. Но потом сила всегда будет больше, чем тангенциальная составляющая мг. Так тележка будет все время ускоряться. Итак, минимум $F = mg$

А если не только величина, но и направление $\mathbf F$ постоянна, но тележка вынуждена следовать по траектории?

$\mathbf F_{net} = m\mathbf a$

На траектории действуют нормальные силы. Поскольку они всегда ортогональны допустимому смещению, мы можем избавиться от них, составив скалярное произведение с элементарным смещением:

$(\mathbf F - m\mathbf g)\mathbf{.dr} = m\mathbf a\mathbf{.dr}$

До $x = R$ , именование $cos(\theta) = 1 - \frac{x}{R}$ :

(Ф - м г) г р с о с (θ) "=" м \frac{г в}{г т} . г р ⟹ (Ф - м г) р г θ с о с (θ) "=" м в . г в "=" г (\frac{1}{2} м в^{2})

$(F - mg)drcos(\theta) = m\frac{\mathbf {dv}}{dt}\mathbf{.dr}\implies (F - mg)Rd\theta cos(\theta) = m\mathbf v\mathbf {.dv} = d\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$

Интеграция из $0$ к $\frac{\pi}{2}$ , и предположим $v = 0$ для $\theta = 0$ :

(Ф - м г) р "=" \frac{1}{2} м в_{1}^{2}

$(F - mg)R = \frac{1}{2}mv_1^2$ необходимо, чтобы

F >= m g

$F >= mg$ чтобы это уравнение выполнялось

Второй путь аналогичен, за исключением того, что $cos(\theta) = \frac{x}{R} - 1$ . Когда $\theta = -\frac{\pi}{2}$ , $v = v_1$ и интеграл из $-\frac{\pi}{2}$ к $0$

(Ф - м г) р "=" \frac{1}{2} м в_{2}^{2} - \frac{1}{2} м в_{1}^{2}

$(F - mg)R = \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

Если $F = mg$ , $v_1 = 0$ , и $v_2 = 0$ . Так что и в этом случае $F = mg$

Но проблема имеет больше смысла. Скорость в этой предельной ситуации всегда равна нулю. Проекции F и mg всегда будут равны, поэтому при небольшой начальной скорости она остается неизменной.

Противоречивый результат теоремы о кинетической энергии

Давиде Даль Боско

Решение

Марко Гулин

Максимальный идеал

Махдияр

Ответы (4)

Филип Вуд

Йифан

Филип Вуд

Йифан

Майкл Зайферт

Эли

Давиде Даль Боско

Эли

Давиде Даль Боско

Клаудио Саспинский

Вопрос о равновесии Block-Spring [дубликат]

Изменение кинетической энергии камня, поднятого силой, превышающей его вес.

Во что превращается работа трения?

Законы Ньютона против энергии для решения проблемы

Какова связь между Силой, Физической Силой, Энергией и Работой?

Вопрос по механике: энергия, работа и мощность

Какая работа совершается, если тело движется по окружности? (Не в круговом движении)

Совершается ли работа за счет изменения скорости или перемещения?

Можно ли в этом случае применить теорему о работе-энергии?

Вопрос о работе, энергии и силе