Мягкий вопрос: что делать с доказательствами нетривиальных теорем?

Основная часть чтения любого текста по математике — это понимание теорем и доказательств. Что касается меня, я бы попытался найти доказательство самостоятельно, прежде чем читать то, что дано в тексте. Но иногда доказательство может быть слишком сложным для меня, например, оно может включать приемы, о которых я никогда не догадываюсь. Итак, мой вопрос:

Что лучше всего делать с этими «жесткими» доказательствами? Когда я не могу доказать это сам, должен ли я отказаться и прочитать доказательство, данное в тексте, или я должен оставить его и попытаться доказать позже? Или, может быть, есть дела поважнее?

Чтобы сделать этот вопрос более конкретным (а не слишком мягким), позвольте мне рассказать кое-что о моем прошлом. Я знаю базовый математический анализ и линейную алгебру только на уровне первокурсника, и там теоремы обычно не так уж сложно доказать. В последнее время я читал теорию групп, работая над «Введением в теорию групп» Ротмана . Хотя эту книгу нетрудно понять, я нашел довольно много теорем, которые не смог доказать. Примером может служить теорема 4.8, утверждающая, что число подгрупп порядка п с в конечном п -группа г (где п с ≤ | г | ) соответствует 1 мод п . Другой пример — теорема П. Холла о подгруппах Холла. Доказательство занимает более одной страницы, и я понятия не имею, как с ним справиться.

Я знаю, что подобных нетривиальных теорем будет появляться все больше и больше по мере того, как я изучаю математику, поэтому я здесь, чтобы спросить, что мне делать. Так как я учил себя все это время, я не хочу ошибаться в первую очередь...

Если этот вопрос все еще слишком мягкий или расплывчатый, дайте мне знать. И спасибо за все советы!

Ответы (2)

Во-первых, спасибо за первую попытку найти доказательство самостоятельно. Это отличная привычка, и она принесет свои плоды.

Однако я не думаю, что вам следует пропускать доказательство, планируя вернуться позже. Некоторые доказательства включают в себя новые методы, изобретательные повороты, даже то, что вы могли бы назвать «гениальными ходами». Сегодняшняя математика — это конечный результат более чем 2000-летней работы самых умных людей на планете и сотен тысяч других людей, которые тоже не были ленивыми. Нереально думать, что вы сможете соответствовать всему этому.

Мой личный подход: если я не вижу, как что-то доказать, после того, как я приложил к этому приличную попытку, я бегло просматриваю доказательство в книге. Возможно, гениальный поворот выскочит. Тогда я постараюсь закончить доказательство самостоятельно. Но я прочитаю доказательство построчно, если понадобится. День или два спустя я попытаюсь воссоздать доказательство в своей голове (желательно во время длительной прогулки), чтобы увидеть, действительно ли я усвоил его основные идеи.

Недостаток сохранения доказательства на потом: оно может легко превратиться в снежный ком, когда вы упустите ключевой момент, скажем, на странице 10, и поэтому не сможете сделать (или даже следовать) доказательству на странице 12 и так далее.

В идеале упражнения в книге дадут вам множество возможностей закрепить ваше понимание.

Спасибо! Наверное, я рассматривал теоремы так, как если бы они были сериями упражнений, которые нужно решить. :)
Да. Конечно, изучение математики — это активный процесс, поэтому первая попытка самостоятельного доказательства — это так хорошо. Побочный эффект: когда я сдаюсь и читаю доказательство, я думаю, что понимаю его лучше, чем если бы я не пытался. «О, вот как они обходят проблему того, что пространство не обязательно компактно», или что-то в этом роде.
Кроме того, есть вопрос, нужно ли делать все упражнения. Pro: очевидно, лучшее понимание. Минусы: занимает больше времени, а это значит, что вы не доберетесь до следующей книги в своем списке для чтения позже. Жизнь конечна, к сожалению!
Не могу не согласиться!

Я думаю, что часто нужно разработать больше примеров самой теоремы, прежде чем переходить ко всем деталям доказательства. Например, выберите очень явный пример, скажем п "=" 2 , с "=" 2 и г "=" А 4 . Затем г имеет 12 элементы. Определить все п -подгруппы порядка п с "=" 2 2 "=" 4 , и проверить все явно.

Это хорошее предложение, спасибо! Но действительно ли это намекает на доказательство? Я думаю, что примеры могут быть слишком конкретными...
Вы можете выполнить каждый шаг доказательства для данного примера. Это помогает сделать каждый шаг и каждое определение явным. В этом смысле примеры не слишком специфичны.
Мягкий вопрос: что делать с доказательствами нетривиальных теорем?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v