От инженерного стиля к правильной математике

В настоящее время у меня инженерное образование в области математики. Мы рассмотрели довольно много материала (например, реальный и комплексный анализ, некоторую теорию вероятностей и теорию графов), но чаще всего мы формулировали теоремы без формальных доказательств, и, что еще хуже, было значительное количество маханий руками (перемещение пределов вокруг без должного обоснования и тому подобное).

Теперь я прихожу к пониманию, что этот подход сродни приему стероидов для наращивания мышц: хотя он позволяет вам пройти большой путь за относительно короткое время, в долгосрочной перспективе он создает больше проблем, чем решает.

Что бы я хотел, так это предложения, чтобы «преобразовать» мои математические знания в правильные знания, используя подход к самостоятельному обучению, дополненный вопросами здесь. Я имею в виду такие вопросы, как (но не ограничиваясь ими):

  • С чего начать? (теория множеств?, логика предикатов?).
  • Что следует? (реальный анализ? комплексный анализ?).
  • Должен ли я работать над целыми книгами, решая каждую проблему?
  • Какие основные темы должен хорошо знать любой уважающий себя математик?
Получить Как доказать это от Веллемана.
Интересно, какая у вас мотивация? Если вы просто хотите стать лучшим инженером, кажется, вам следует спросить об этом инженеров. Если вы хотите изучать математику из любви к ней, продолжайте и делайте это, и IMO не позволяет людям указывать вам, что учить, просто следуйте тому, что вас волнует.
Найдите книгу Кеннета С. Миллера Advanced Real Calculus в библиотеке, если у вас есть к ней доступ. Это один из самых приятных способов лечения, которые я знаю, для твоего прошлого. Книга короткая, строгая и могла бы стать отличной предпосылкой для «Принципов математического анализа» Рудина . «Первый курс дифференциальных уравнений с частными производными: с комплексными переменными и методами преобразования» Вайнбергера также заслуживает внимания (узнайте все о равномерной сходимости и т.п., когда это возникнет «естественно»).
Вы также изучали линейную алгебру? Вы не указываете это конкретно в своем посте.

Ответы (2)

Две возможности:

  1. Примите то, что вы узнали, как должное (да, есть дыры, но то, что вы объяснили энергичным маханием руками, можно строго доказать). Докопайтесь до формальных доказательств нового материала по мере необходимости, возможно, заполняя любой основной материал, который вызывает у вас беспокойство.
  2. Начните с самого начала, заполните все дыры.

Из соображений целесообразности я бы выбрал (1), (2) вам понадобится много времени, чтобы добраться туда, куда вы хотите. На самом деле, я обнаружил (на личном опыте), что попытки учиться на опережение, как правило, уводят вас в сторону, поскольку у вас нет цели. Кроме того, часто бывает так, что когда тебе нужно что-то уже изученное, ты уже забыл; или, что еще хуже, вам это никогда не понадобится.

В моем случае это не вопрос целесообразности. Проблема с подходом «учись, как делаешь» заключается в том, что вы часто застреваете в бесконечных циклах: вы пытаетесь понять доказательство в реальном анализе, но не можете, потому что не знаете лежащую в его основе теорию множеств и т. д. Думаю, в моем случае подход «снизу вверх» будет лучше?
@ user60297 Все, что вам нужно знать о теории множеств и других «основах», чтобы в полной мере оценить реальный анализ, полностью содержится в главах 1 и 2 PMA Рудина.
Если вы попали в бесконечный цикл, вы нашли ошибку в математике ;-) Я бы предпочел нисходящий подход. Сначала узнайте , почему что-то вроде теоремы о промежуточном значении имеет решающее значение, а затем углубитесь в доказательство. Дает ощущение цели. Но люди разные...

Чтобы понять основы большей части математики, используемой в технике, я предлагаю вам начать с реального анализа, а затем перейти к комплексному анализу, функциональному анализу и теории меры. Поначалу настоящий анализ может быть немного сложным, если вы не привыкли находить и писать строгие доказательства, но потом вам станет легче.

Я пытаюсь представить кого-то с небольшим (отсутствующим) опытом доказательства, изучающим Принципы математического анализа, и я не думаю, что это пойдет очень хорошо. Я думаю, что краткий проверочный курс был бы гораздо лучшим местом для начала.
@ Тайлер, я полностью согласен. Книга Рудина не годится для погружения в математику. Но я нашел «Реальный анализ» Бербериана идеальным для той же цели. Это одна из моих любимых книг. Тем не менее, он не охватывает много материала.
@fgp Я думаю, это зависит. Если вы прошли курс инженерного дела, скорее всего, вы уже понимаете большую часть реального анализа на интуитивном уровне. Я никогда не пользовался книгой Рудина по реальному анализу, но я пользовался его книгой по функциональному анализу и нашел, что она работает на меня очень хорошо.
От инженерного стиля к правильной математике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v